绝对值知识点及练习.doc

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绝对值知识点及练习

1、定义：

（1）几何定义：

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作｜a｜,读作“绝对值a”。

（2）代数定义：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.实​‌‌数a的绝对值是：

|a|

　　①a为正数时，|a|=a（不变）

　　②a为0时，|a|=0

　　③a为负数时，|a|=-a（为a的绝对值）

　　任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。

2、实数的绝对值具有以下性质：

（1）|a|大于等于0（实数的绝对值是非负实数）;

（2）|-a|=|a|（互为相反数的两实数绝对值相等）;

　　（3）-|a|小于等于a小于等于|a|;

　　（4）|a|>b可以推出a<-b或a>b，a<-b或a>b可以推出|a|>b;

　　（5）|a·b|=|a|·|b|;

　　（6）|a|/|b|=|a/b|（b≠0）;

　　（7）|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当a、b同号时，等式成立;

　　（8）|a-b|大于等于||a|-|b||，当且仅当a、b同号时，等式成立;

　　（9）a属于R时，|a|的平方等于|a|的平方。

特别提醒：

（1）绝对值具有非负性，即|a|≥0；

（2）绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数；

（3）0是绝对值最小的有理数。

3、利用绝对值比较大小

（1）利用绝对值比较两个负数的大小

两个负数比较大小，绝对值大的反而小．

比较的具体步骤：

①先求两个负数的绝对值；

②比较绝对值的大小；

③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断．

（2）几个有理数的大小比较

①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：

a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小．

②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较．

4、利用绝对值解决实际问题

绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：

（1）判断物体或产品质量的好坏

可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．

方法：

①求每个数的绝对值；

②比较所求绝对值的大小；

③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断．

（2）利用绝对值求距离

路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是求绝对值的和．

方法：

①求每个数的绝对值；

②求所有数的绝对值的和；

③写出答案．

5、去绝对值符号的几种常用方法：

（1）利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即||=，有||<；||>

（2）利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化||<或||>（>0）来解，如||>（>0）可为>或<－；||<可化为－<+<，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“≤||≤≤≤或－≤≤－”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

（3）利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用||=可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数（式）时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

（4）利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：

若数，，……，分别使含有|－|，|－|，……，|－|的代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值的零点，零点，，……，将数轴分为+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。

（5）利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。

数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于或（为正常数）类型不等式。

对（或<），当||≠||时一般不用。

1、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a>0时，︱a︱=a（性质1，正数的绝对值是它本身）；

当a=0时︱a︱=0（性质2，0的绝对值是0）；

当a<0时；︱a︱=–a（性质3，负数的绝对值是它的相反数）。

2、对于形如︱a+b︱的一类问题

我们只要把a+b看作是一个整体，判断出a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号，正确进行化简。

当a+b>0时，︱a+b︱=a+b（性质1，正数的绝对值是它本身）；

当a+b=0时，︱a+b︱=0（性质2，0的绝对值是0）；

当a+b<0时，︱a+b︱=–（a+b）=–a-b（性质3，负数的绝对值是它的相反数）

3、对于形如︱a-b︱的一类问题

同样，按上面的方法，我们仍然把a-b看作一个整体，判断出a-b的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号。

但在去括号时最容易出现错误。

如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可。

因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b.请记住口诀：

无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。

4、对于数轴型的一类问题，

根据3的口诀来化简，更快捷有效。

如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边，便可得到︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b。

5、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算

  万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。

练习

一、选择

1、绝对值为4的有理数是（）A.±4B.4C.-4D.2

2、两个数的绝对值相等，那么（）A.这两个数一定是互为相反数；B.这两个数一定相等；

C.这两个数一定是互为相反数或相等；D.这两个数没有一定的关系

3、绝对值小于4的整数有（）A.3个B.5个C.7个D.8个

4、绝对值与相反数都是它的本身（）A.1个B.2个C.3个D.不存在

5、若m为有理数，且那么m是（）　A.非整数B.非负数C.负数D.不为零的数

6、下列说法中，错误的是（     ）

A、一个数的绝对值一定是正数    B、互为相反数的两个数的绝对值相等

C、绝对值最小的数是0           D、绝对值等于它本身的数是非负数

7、下列结论中，正确的有（     ）

①符号相反且绝对值相等的数互为相反数；②一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；③两个负数，绝对值大的它本身反而小；④正数大于一切负数；⑤在数轴上，右边的数总大于左边的数.

A、2个  B、3个  C、4个  D、5个

8、一个数的绝对值是它本身，那么这个数是（   ）

（A）正数   （B）正数或零    （C）零          （D）有理数

9、如果一个数的绝对值是5.2，那么这个数是（   ）

（A）5.2    （B）－5.2      （C）5.2或－5.2  （D）以上都不对

10、任何有理数的绝对值都是（   ）

（A）正数    （B）负数      （C）有理数       （D）正数或零

11、在－（－8），|－1|，－|0|，－0.0001这四个有理数中，负数共有（   ）

（A）4个    （B）3个      （C）2个     （D）1个

12、在数轴上和表示－3的点的距离等于5的点所表示的数是（   ）

（A）－8    （B）2      （C）－8和2    （D）1

13、9与－13的绝对值的和是（   ）

（A）22    （B）－4     （C）4      （D）－22

14、数－|－3|的相反数是（   ）

（A）－3   （B）      （C）3      （D）3

15、设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b+c等于  （      ）A －1  B 0   C   1       D 2

二、填空

（1）正数的绝对值是____，负数的绝对值是_____，零的绝对值是_____，绝对值等于1的有理数是____________．

（2）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的_______．

（3）49是______的相反数，它是______的绝对值．

（4）|－5|的相反数是________．

（5）如果一个数的绝对值等于那么这个数是___________．

（6）绝对值小于3.14的所有整数是________．

（7）-3的绝对值是_______，绝对值是3的数是________.

（8）一个数a在数轴上的对应点在原点的左侧，且，则︱a︱=__________.

（9）绝对值最小的数是_____；最大的负整数是_____．

（10）绝对值小于3的所有自然数是____．

（11）一个有理数的相反数小于原数，这个数是____．

（12）已知︱x︱－︱y︱=2，且y=－4，则x= ____。

（13）已知︱x︱=2，︱y︱=3，则x+y= ____。

（14）已知︱x+1︱与︱y－2︱互为相反数，则︱x︱+︱y︱= ____。

（15）　式子︱x+1︱的最小值是  ，这时，x值为____。

三、拓展提高：

1．如果a，b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值为2，求式子a+b+m－cd的值。

 2、．某司机在东西路上开车接送乘客，他早晨从A地出发，（去向东的方向正方向），到晚上送走最后一位客人为止，他一天行驶的的里程记录如下（单位：

㎞）

 +10，—5，—15，+30，—20，—16，+14

（1） 若该车每百公里耗油3L，则这车今天共耗油多少升？

（2） 据记录的情况，你能否知道该车送完最后一个乘客是，他在A地的什么方向？

距A地多远？