专题18 手拉手模型解析版Word格式文档下载.docx

专题18 手拉手模型解析版Word格式文档下载.docx

《专题18 手拉手模型解析版Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题18 手拉手模型解析版Word格式文档下载.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠BDC，则可得到∠BAH+∠BCH＝60°

，从而根据三角形内角和得到∠AHC＝120°

，则可对②进行判断；

利用”ASA”可证明△AGB≌△DFB，从而可对③进行判断；

利用△ABE≌△DBC得到AE和DC边上的高相等，则根据角平分线的性质定理逆定理可对④进行判断；

证明△BGF为等边三角形得到∠BGF＝60°

，则∠ABG＝∠BGF，所以GF∥AC，从而可对⑤进行判断．

∵△ABD和△BCE都是等边三角形，

∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°

，

∵∠DBE＝180°

﹣60°

＝60°

∴∠ABE＝∠DBC＝120°

∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴AE＝DC，所以①正确；

∠BAE＝∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD＝∠ABD＝60°

∴∠BAE+∠BCD＝60°

∴∠AHC＝180°

﹣（∠BAH+∠BCH）＝180°

＝120°

，所以②正确；

∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°

∴△AGB≌△DFB（ASA）；

所以③正确；

∵△ABE≌△DBC，

∴AE和DC边上的高相等，

即B点到AE和DC的距离相等，

∴BH平分∠AHC，所以④正确；

∵△AGB≌△DFB，

∴BG＝BF，

∵∠GBF＝60°

∴△BGF为等边三角形，

∴∠BGF＝60°

∴∠ABG＝∠BGF，

∴GF∥AC，所以⑤正确．

D．

3．如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H

问：

（1）△ADG≌△CDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分∠AHE？

（如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？

）

【点睛】

（1）由四边形ABCD与DEFG是正方形，可得AD＝CD，∠ADC＝∠GDE＝90°

，进而得出∠ADG＝∠CDE，DG＝DE，然后由SAS即可判定△ADG≌△CDE；

（2）根据全等三角形的性质则可证得AG＝CE；

（3）根据全等三角形的性质和角的关系即可得出夹角是90°

（4）根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可．

（1）∵ABCD和DEFG是正方形，

∴AD＝CD，DG＝DE，且∠ADC＝∠GDE＝90°

∴∠ADG＝∠CDE，

在△ADG与△CDE中，

∴△ADG≌△CDE（SAS），

（2）∵△ADG≌△CDE，

∴AG＝CE；

（3）CE与DG交点为O，

∵△ADG≌△CDE，

∴∠DEC＝∠AGD，

∵∠DEC+∠DOE＝90°

∴∠AGD+∠DOE＝90°

＝∠AGD+∠GOH，

∴∠GHE＝90°

（4）过点D作MD⊥AG，DN⊥CE，

∴S△DCE＝S△ADG，

∴

∴DM＝DN，且MD⊥AG，DN⊥CE，

∴DH平分∠AHE，

由勾股定理可得：

AC2+GE2＝AE2+CG2．

4．如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）AE与DC的夹角为60°

（2）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC．

（1）根据等边三角形性质得出AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°

，求出∠ABE＝∠DBC．根据SAS证△ABE≌△DBC，则∠BDC＝∠BAE，根据三角形的内角和定理可求出∠AHD＝60°

（2）过点B分别作BM⊥CD，BN⊥AE，垂足为点M，N．根据三角形的面积公式求出AN＝AM，根据角平分线性质求出即可．

【解析】证明：

（1）∵△ABD和△BCE是等边三角形，

∴AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°

∴∠ABE＝∠DBC，

在△ABE和△DBC中，

∴△ABE≌△DBC，

∴AE＝DC，∠BDC＝∠BAE，

∵∠BDC+∠ADC＝∠BAE+∠ADC＝∠BDA＝60°

∴在△ADH中，∠AHD＝180°

﹣∠ADC﹣∠DAB﹣∠BAE

＝180°

﹣∠ADC﹣（∠DAB+∠BAE）

（2）过点B分别作BM⊥CD，BN⊥AE，垂足为点M，N．

∵由

（1）知：

△ABE≌△DBC，

∴S△ABE＝S△DBC

∴BM＝BN

∴点B在∠DHE的平分线上，

∴BH平分∠AHC．

5．（2019•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠BAC＝∠BCA，∠ABC＝90°

，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．

（1）求证：

Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）求证：

AE⊥CF；

（3）若∠CAE＝30°

，求∠ACF度数．

（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）根据Rt△ABE≌Rt△CBF，可以得到∠BCF＝∠BAE，由直角三角形的性质可得结论；

（3）由三角形内角和定理可以得到∠ACF的度数．

（1）∵∠ABC＝90°

∴∠ABE＝∠CBF＝90°

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；

（2）如图，

∵Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠BCF＝∠BAE，

∵∠BCF+∠F＝90°

∴∠BAE+∠F＝90°

∴∠AHF＝90°

∴AF⊥CF；

（3）∵∠AHF＝90°

，∠EAC＝30°

∴∠ACF＝60°

6．（2019•永春校级月考）判定一个三角形是不是等腰三角形，我们经常利用以下的判定方法：

“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，请你利用以上判定方法解决下列问题

如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°

，∠B＝30°

，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为β（0°

＜β＜180°

），得到△A′B′C

（1）当旋转角为β＝20°

，∠A′B′C＝　30　°

（2）当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D，求证：

D是A′B′的中点；

（3）如图2，E是AC边上的点，且AE

AC，P是A′B′边上的点，且∠A′PC＝60°

，连接EP，已知AC＝α，当β＝　120　°

时，EP长度最大，最大值为　

a　．

（1）根据旋转的性质，旋转前后两个图形全等，则∠A'

B'

C＝∠B，据此求解；

（2）根据平行的性质证明∠BCB'

＝∠B'

，然后证明∠A'

DC＝∠A'

，根据等角对等边即可证得；

（3）∠A′PC＝60°

时易证△A'

CP是等边三角形，当A、C、P在一条直线上时，EP的长度最大，据此即可求解．

（1）∠A'

C＝∠B＝30°

（2）∵AB∥CB′，

∴∠BCB'

＝∠B＝30°

又∵∠B'

＝30°

，∠A'

DC＝∠BCB'

+∠B'

∴CD＝B'

D，

∵∠CA'

D＝∠A'

DC＝60°

∴A'

D＝CD，

D＝B'

D，即D是A'

的中点；

（3）∵∠A′PC＝60°

＝∠A＝60°

∴△A'

CP是等边三角形．

∴CP＝CA'

＝a，∠A'

CP＝60°

∴当β＝180°

时，EP长度最大，最大值为

a+a

a．

故答案是：

120，

7．等边△ABD和等边△BCE如图所示，连接AE与CD，证明：

（1）AE＝DC；

（2）AE与DC的夹角为60°

（3）AE延长线与DC的交点设为H，求证：

BH平分∠AHC．

（1）根据△ABD和△BCE都是等边三角形，即可得到△ABE≌△DBC（SAS），进而得出AE＝DC；

（2）根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到△ADH中，∠AHD＝60°

，进而得到AE与DC的夹角为60°

（3）过B作BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，根据全等三角形的面积相等，即可得到BG＝BF，再根据BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，可得BH平分∠AHC．

（1）∵△ABD和△BCE都是等边三角形，

∴AB＝DB，EB＝CB，∠ABD＝∠EBC，

∴AE＝DC；

（2）∵△ABE≌△DBC，

∴∠BAE＝∠BDC，

又∵∠BAE+∠HAD+∠ADB＝120°

∴∠BDC+∠HAD+∠ADB＝120°

∴△ADH中，∠AHD＝180°

﹣120°

即AE与DC的夹角为60°

（3）如图，过B作BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，

∴S△ABE＝S△DBC，即

AE×

BG

DC×

BF，

又∵AE＝DC，

又∵BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，

8．（2020•房山区校级月考）将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A＝90°

，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α（0°

≤α≤180°

），BD的延长线交直线CE于点P．

（1）如图1，BD与CE的数量关系是　BD＝EC　，位置关系是　BD⊥CE　；

（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出CP的长；

（3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长．

（1）利用三角形中位线性质以及等腰直角三角形的性质得出即可；

（2）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），进而求出四边形ADPE为正方形，即可得出CP的长；

（3）由

（2）知，当α＝60°

时，∠PBA最大，且∠PBA＝30°

，此时∠AOP＝60°

，得出点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的

，进而利用弧长公式求出即可．

（1）BD＝EC，BD⊥CE；

理由：

∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，

∠A＝90°

，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4，

∴D，E分别是AB和AC的中点，故BD＝EC＝AD＝AE，BD⊥CE；

故答案为：

BD＝EC，BD⊥CE；

（2）如图3所示：

∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

∵∠1＝∠2，

∴BP⊥CE，

∵AD⊥BP，∠DAE＝90°

，AD＝AE，

∴四边形ADPE为正方形，

∴AD＝PE＝2，

∵∠ADB＝90°

，AD＝2，AB＝4，

∴∠ABD＝30°

∴BD＝CE＝2

∴CP＝CE﹣PE＝2

2；

（3）如图4，取BC的中点O，连接OP、OA，

∵∠BPC＝∠BAC＝90°

∴OP＝OA

BC＝2

在此旋转过程中（0°

），

由

（2）知，当α＝60°

时，AD⊥PB，由AD的长度为定值2，

则此时∠PBA最大，且∠PBA＝30°

此时∠AOP＝60°

∴点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的

∴点P运动的路线长为：

l

2

π．

9．（2019•裕华区校级期末）阅读情境：

在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题

如图1，△ABC≌△ADE，其中

∠B＝∠D＝90°

，AB＝BC＝AD＝DE＝2，此时，点C与点E重合，

操作探究1

（1）小凡将图1中的两个全等的△ABC和△ADE按图2方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE所在直线于点M，连结AM，求证：

BM＝DM．

操作探究2

（2）小彬将图1中的△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度a（0°

＜a＜90°

），然后，分别延长BC，DE，它们相交于点F．

如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：

①a＝30°

时，求证：

△CEF为等边三角形；

②当a＝　45°

　时，AC∥FE．（直接回答即可）

操作探究3

（3）小颖将图1中的△ABC绕点A按顺时针方向旋转角度β（0°

＜β＜90°

），线段BC和DE相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：

①如图4，当β＝60°

时，直接写出线段CE的长为　2

　；

②如图5，当旋转到点F是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为　

　．

（1）根据HL证明Rt△AMB≌Rt△AMD即可解决问题．

（2）①想办法证明∠FCE＝∠FEC＝60°

即可解决问题．

②根据平行线的判定定理即可解决问题．

（3）①连接EC，证明△AEC是等边三角形，利用勾股定理求出AE即可解决问题．

②如图5中，连接AF，BD交于点O．首先证明EC＝BD，再证明OB＝OD，利用面积法求出OB即可解决问题．

【解析】

（1）证明：

如图2中，

∵∠ABM＝∠D＝90°

，AM＝AM，AB＝AD，

∴Rt△AMB≌Rt△AMD（HL），

∴BM＝DM．

（2）①证明：

如图3中，

∵CA＝AE，∠CAE＝30°

∴∠ACE＝∠AEC＝75°

∵AB＝BC＝AD＝DE，∠B＝∠D＝90°

∴∠ACB＝∠AED＝45°

∴∠BCE＝∠CDE＝120°

∴∠FCE＝∠FEC＝60°

∴△EFC是等边三角形．

②解：

∵AC∥EF，

∴∠CAE＝∠AED＝45°

∴当α＝45°

时，AC∥EF．

故答案为45°

（3）①解：

如图4中，连接EC．

∵∠EAC＝β＝60°

，AE＝AC，

∴△AEC是等边三角形，

∵AD＝DE＝2，∠ADE＝90°

∴AE

∴EC＝AE＝2

故答案为2

如图5中，连接AF，BD交于点O．

∵∠ABF＝∠ADF＝90°

，AF＝AF，AB＝AD，

∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL），

∴BF＝DF，

∵DF＝EF＝1，

∴BF＝DF＝1，

∵BC＝2，

∴BF＝CF＝1，

∵BF＝CF＝DF＝EF，∠BFD＝∠CFE，

∴△BFD≌△CFE（SAS），

∴EC＝BD．

∵AB＝AD，FB＝FD，

∴AF垂直平分线段BD，

∴OB＝OD，

在Rt△ABF中，∵∠ABF＝90°

，AB＝2，BF＝1，

∴AF

∵S△ABF

•AB•BF

•OB•AF，

∴OB

∴BD＝2OB

∴EC＝BD

故答案为