等腰三角形三线合一专题练习[1].doc

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等腰三角形三线合一专题训练1

例1：

如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：

BC=AB+DC。

变1：

如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。

求证：

CE⊥BE。

变2：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.

（1）求证：

AE⊥BE；

（2）求证：

E是CD的中点；（3）求证：

AD+BC=AB.

B

C

E

A

D

变3：

△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：

（1）DM＝DN。

⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。

问DM和DN有何数量关系。

（1）已知：

如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．

求证：

DE=DF．

（2）已知：

如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点．　求证：

BE=CF．

利用面积法证明线段之间的和差关系

1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？

变1：

若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）

A17B22C17或22D13

根据等腰三角形的性质寻求规律

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？

若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：

PB：

PC=3：

4：

5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）

A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定

A

B

C

例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。

例3、如图，已知BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，求△OEF的周长。

A

B

F

C

O

E

例4、如图，已知等边△ABC中，D为AC上中点，延长BC到E，使CE=CD，连接DE，试说明DB=DE。

A

B

C

D

E

例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（）

A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形

例6、

（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为。

（2）直角三角形的周长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为；

（3）若直角三角形三边为1，2，c，则c=。

例7、下列说法：

①若在△ABC中a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；

②若△ABC是直角三角形，∠C=900，则a2+b2=c2；

③若在△ABC中，a2+b2=c2，则∠C=900；

④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。

正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。

例8、正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（　　）

（A）1个（B）4个（C）7个（D）10个

例9.四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（　　）

A．2 B．3 C． D．

例10.已知△ABC为正三角形，P为其内一点，且AP=4，BP=，CP=2，则△ABC的边长为（）

（A）（B）（C）4（D）

三．巩固练习

1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。

2、在△ABC中，AB=AC，∠B=400，则∠A=。

3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为。

4、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为.140°呢

D

C

B

A

5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝105o，直线BD交AC于D，

把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上，

如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于（）

（A）40o（B）30o（C）25o（D）15o

6、若△ABC三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC的形状为（）

（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等边三角形

7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是……………………（）。

A、有一腰和一角对应相等B、有两边对应相等

C、有顶角和一个底角对应相等D、有两角对应相等

8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）

A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半

9、在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（）

A、100°B、75°C、150°D、75°或100°

10、如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝…（）

A、1250B、1300C、900D、1200

11、如图，△ABC中，AB＝AC，BD、CE为中线，图中共有等腰三角形（）个。

10题图

11题图

12题图

A、4个B、6个C、3个D、5个

12、如图，AB＝AC，AE＝EC，∠ACE＝280，则∠B的度数是…………（）

A、600B、700C、760D、450

13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点A、C除外），设甲虫P到

另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，

则d与h的大小关系是（）

【解题方法指导】

例1.已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：

∠B＝2∠D

例2.已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。

【考点指要】

等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。

【典型例题分析】

例1.（2005年苏州）

如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。

例2.已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。

例3.已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。

【综合测试】

1.已知，如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：

DB＝DC

2.已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：

BD＝CE

3.已知，如图，△ABC中，DE//BC，AB＝AC，求证：

AD＝AE

4.已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：

DF＝EF

5.已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：

AD＝CE

6.已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。

例6、如图11，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：

AE＋AF是一个定值.

证明：

连接AD，

∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，

∴∠BAD＝45°，∠CAD＝45°，∴AD＝BD＝CD，

∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠ADF＝90°，

又由AD⊥BC得∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，∠B＝∠DAF，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF，

∴BE＝AF，∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB（定值）.

思考：

四边形AEDF的面积是否也是定值呢？

为什么？

例4、如图9，已知AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?

你能证明它吗？