第十一章三角形典型题.doc
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第十一章三角形典型题
11.1与三角形有关的线段
题型一:
三角形中线与周长的应用
例1:
如图11-9所示,AD是△ABC的中心,已知△ABC的周长为25cm,AB比AC长6cm,则△ABC的周长为()
A、19cmB、22cmC、25cmD、31
变式训练:
在△ABC中,AC=5cm,AD是△ABC中线,把△ABC周长分为两部分,若其差为3cm,则BA=____
题型二:
三角形面积的综合应用
例2:
如图11-10所示,D为△ABC中AC边上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点,且△ABC的面积等于△DEC的面积的2倍,则BE的长度为多少?
变式训练:
如图所示,S△AOD=3,S△AOB=4,S△COD=6,求S△BOC.
题型三:
应用三角形面积求线段的长
例3:
如图11-11所示,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D,且AD=4。
若点P在边AC上移动,则BP的最小值是______
变式训练:
如图所示,AD,CE是△ABC的两条高,AB=4cm,BC=8cm,CE=6cm,求AD的长。
题型四:
三角形三边关系与绝对值的综合应用
例4:
若a,b,c为△ABC的三边长,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|
变式训练:
已知a,b,c是△ABC的三边长,化简|+b-c|+|a-b-c|-|b-a-c|-|c+b-a|
题型五:
应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题
例5:
如图11-12所示,点P是△ABC内一点,试说明AB+AC>PB+PC
变式训练:
如图所示,已知P是△ABC内一点,试说明PA+PB+PC>(AB+BC+AC)
题型六:
利用中线解决三角形面积问题
例6:
张爷爷家有一块三角形的花圃,如图11-13所示,张爷爷准备将其分成面积相等的四部分,分别种上红、黄、白、蓝四种不同颜色的花,请你设计五种不同的种植方案,供张爷爷选择。
变式训练:
如图所示,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,S△ABC=16cm2,则阴影部分的面积是()
A、8cm2B、6cm2C、4cm2D、2cm2
11.2与三角形有关的角
题型一:
应用三角形内角和定理解决三角板组合问题
例1:
一幅三角板有两个直角三角形,按如图11-31所示的方式叠放在一起,则∠α的度数是()
A、165°B、120°C、150°D、135°
变式训练:
一幅分别含有30°和45°角的两个直角三角板拼成如上图所示的形式,其中∠C=90°,∠B45°,∠E=30°,则∠BFD的度数是()
A、10°B、15°C、25°D、30°
题型二:
三角形内角和与角平分线的综合应用
例2:
如图11-33所示,已知∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O,∠A=50°,求∠BOC的度数。
变式训练:
如图所示,已知△ABC两内角的平分线AO,BO相较于点O,若∠AOB=140°,求∠C的度数。
题型三:
三角形外角性质与角平分线的综合应用
例3:
在△ABC中,∠ABC,∠ACB 的平分线交于点O,试说明∠BOC=90°+∠A。
变式训练:
如图
(1)所示,在△ABC中,∠1=∠2,∠C>∠B,E为AD上一点,且EF⊥BC于F。
(1)试探索∠DEF与∠B,∠C之间的关系;
(2)如图
(2)所示,当点E在AD的延长线上时,其余条件都不变,你在
(1)中探索得到的结论是否成立?
(不需要证明)
题型四:
三角形高线与角平分线的综合
例4:
如图11-35所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE平分∠BAC,∠B=75°,∠C= 45°,求∠DAE与∠AEC的度数。
变式训练:
如图所示,在△ABC中,AD是高,BE交于点P,∠BAC=30°,∠C=70°,求∠BEC和∠BPA的度数。
题型五:
三角形内角和定理的推论的实际应用
例5:
一个零件的形状如图11-36所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠C应分别是21°和32°,现测得∠BDC=148°,你认为这个零件合格吗?
为什么?
变式训练:
如图所示,其中的圆是一个喷水池,现要修建两条通向水池的小道PA和QB,要求PA与QB所在的直线互相垂直。
为了检验PA与QB是否垂直,小李同学早水池外的平地上选定一个可直达点P和Q的点C然后测得∠P=25°,∠C=45°,∠Q=20°,则PA与PB是否垂直?
为什么?
题型六:
利用外角性质判定角的关系
例6:
如图11-37所示,在△ABC中,角平分线AD,CF交于点I。
(1)∠BIC与∠BAC的大小有什么关系?
为什么?
(2)∠CIA与∠ABC的大小有什么关系?
为什么?
变式训练:
如图所示,已知D为△ABC内任一点,试说明∠BDC>∠ABD
题型七:
有关三角形的探究题
例7:
下面是有关三角形内,外角平分线的探究,阅读后按要求作答。
探究1:
如图11-38
(1)所示,在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点,通过分析发现:
∠BOC=90°+∠A(不要求证明)
探究2:
如图11-38
(2)所示,O是∠ABC与∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC与∠A有怎么样的数量关系,请说明理由;
探究3:
如图11-38(3)所示,O是∠DBC与∠ECB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎么样的数量关系?
变量训练:
如图所示,△ABC是一张三角形纸片,点D,E分别是△ABC边上的两点,沿直线DE折叠。
研究
(1):
如果折成图
(1)的形状,则∠BDA'与∠A的关系是______
研究
(2):
如果折成图
(2)的形状,猜想∠BDA',∠CEA'和∠A的关系,并说明理由。
(提升:
四边形的内角和为360°)。
探究(3):
如果折成图(3)的形状,猜想∠BDA',∠CE'A和∠A的关系,并说明理由。
11.3多边形及其内角和
题型一:
复杂图像中角度的确定
例1:
如图11-61所示,试说明∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°。
变式训练:
如图所示,DE∥BC∥FG,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。
题型二:
多边形的割角问题
例2:
一个多边形截去一个角后,形成的新多边形的内角和是2880°,则原多边形的边数是多少?
变式训练:
如图所示,已知矩形ABCD,一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形,则所得任一多边形内角和度数不可能是()
A、720°B、540°C、360°D、180°
题型三:
利用不等式确定多边形的边数
例3一个同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为1125°,当发现错了以后,重新检查,发现少算一个内角,则这个内角是多少度?
他求的是多边形的内角和?
变式训练:
一个多边形除去一个内角后,其余内角之和是2570°,求:
(1)这个多边形的边数;
(2)除去的呢个内角的度数。
题型四:
多边形内角和与外角和的实际应用
例4:
如图11-62所示,小敏从O点出发,前进10m到达点A1后,向右转30°前进10m到达A2,再向右转30°前进10m到达A3,…这样一直走下去,当她第一次回到出发点O时一共走了____m
变式训练:
如上图所示,小明从点O出发,沿直线前进10米后向左旋转n°(0<n<90),再沿直线前进10米向左转相同的度数…,照这样走下去,小明发现:
当第一次回到了出发点且转向出发点的方向时,共转了24次,则小明每次转过的角度n的值为()
A、B、15C、D、36