立体几何证明题(文科).docx
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立体几何
1.如图：
梯形和正所在平面互相垂直，其中，且为中点.
（I）求证：
平面；
（II）求证：
.
2.如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求证：
平面平面；
A
B
A
B
C
C
D
M
O
D
O
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
P
A
B
C
D
Q
M
3.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．
（Ⅰ）求证：
AD⊥平面PBQ；
（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得
PA//平面BMQ．
4.已知四棱锥的底面是菱形．，为的中点．
（Ⅰ）求证：
∥平面；
（Ⅱ）求证：
平面平面．
5.已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.（I）求证：
平面平面；
（II）求证：
平面.
6.A
B
C
D
F
E
如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）求四面体的体积.
7.如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：
（1）直线EF//平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD.
8.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）证明：
PQ⊥平面DCQ；
（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．
9.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。
（1）证明：
平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；
（2 ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。
参考答案：
1.证明:
（I）因为为中点，
所以…………………1分
又，
所以有…………………2分
所以为平行四边形,所以…………………3分
又平面平面
所以平面.…………………5分
（II）连接.
因为所以为
平行四边形，…………………6分
又,所以为菱形，
所以，…………………7分
因为正三角形,为中点，
所以，…………………8分
又因为平面平面,平面平面，
所以平面，…………………10分
而平面，所以，
又，所以平面.…………………12分
又平面，所以.…………………13分
2.（Ⅰ）证明：
因为点是菱形的对角线的交点，
所以是的中点.又点是棱的中点，
所以是的中位线，.……………2分
因为平面,平面，
所以平面.……………4分
（Ⅱ）证明：
由题意，,
因为,所以，.……………6分
A
B
C
M
O
D
又因为菱形，所以.…………7分
因为,
所以平面，……………8分
因为平面，
所以平面平面.……………9分
（Ⅲ）解：
三棱锥的体积等于三棱锥的体积.……………10分
由（Ⅱ）知，平面，
所以为三棱锥的高.……………11分
的面积为，……………12分
所求体积等于.……………13分
3.证明：
（Ⅰ）AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．
P
A
B
C
D
Q
M
N
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．
∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD．
∵PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PBQ．……………………6分
（Ⅱ）当时，PA//平面BMQ．
连接AC，交BQ于N，连接MN．
∵BCDQ，
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
∵点M是线段PC的中点，
∴MN//PA．
∵MN平面BMQ，PA平面BMQ，
∴PA//平面BMQ．……………………13分
4.（Ⅰ）证明：
因为，分别为，的中点，
所以∥．
因为平面
平面
所以∥平面．
……………………6分
（Ⅱ）证明：
连结
因为，
所以．
在菱形中，
因为
所以平面
因为平面
所以平面平面．……………………13分
5.（Ⅰ）由已知可得，，
四边形是平行四边形，
，……………1分
平面，平面，
平面；……………2分
又分别是的中点，
，……………3分
平面，平面，
平面；……………4分
平面，平面，……………5分
平面∥平面.……………6分
（Ⅱ）三棱柱是直三棱柱，
面，又面，
.……………7分
又直三棱柱的所有棱长都相等，是边中点，
是正三角形，，……………8分
而，面，面，
面，……………9分
故.……………10分
四边形是菱形，，……………11分
而，故,……………12分
由面，面，
得面.……………13分
6.（Ⅰ）证明：
因为平面平面，，
所以平面，…………………2分
所以.…………………3分
因为是正方形，
所以，所以平面.…………………4分
（Ⅱ）证明：
设，取中点，连结，
所以，.……………………5分
因为，，所以，……………………6分
从而四边形是平行四边形，.……………………7分
因为平面,平面,……………………8分
所以平面，即平面.……………………9分
（Ⅲ）解：
因为平面平面，,
所以平面.……………………11分
因为,,，
所以的面积为，……………………12分
所以四面体的体积.……………………13分
7.答案：
（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，
又
直线EF//平面PCD
（2）连接BD为正三角形
F是AD的中点，
又平面PAD⊥平面ABCD，
所以，平面BEF⊥平面PAD.
8.解：
（I）由条件知PDAQ为直角梯形
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD
所以PQ⊥平面DCQ.………………6分
（II）设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积
由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，
所以棱锥P—DCQ的体积为
故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分
9.1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，
又DBＤＣ＝Ｄ，
∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD平面BDC.
∴平面ABD⊥平面BDC．
（2）由
（1）知，DA,,,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=,
∴三棱锥D—ＡＢＣ的表面积是
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