特殊四边形培优习题精选及答案.doc

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特殊平行四边形习题精选

《特殊平行四边形习题精选》

1、矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则∠BOE=________°

2、菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为，∠ABC=60º，则菱形ABCD的面积为__________

3、如图，矩形ABCD长为a，宽为b，若s1=s2=（s3+s4），则s4等于（）

（A）（B）（C）（D）

4、菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF=_________°

5、点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上，，已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN的度数。

6、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，求证：

EF=DF.

7、如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，E为BC的中点，求∠AED的度数；

8、如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE=AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，求正方形边长；

9、如图AD是⊿ABC边BC边上的高线，E、F、G分别是AB、BC、AC的中点，求证：

四边形EDGF是等腰梯形；

10、如图1，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H。

（1）求证：

①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE。

（2）当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？

请说明理由。

11、如图，正方形ABCD中，过D做DE∥AC，∠ACE=30°，CE交AD于点F，求证：

AE=AF；

12、如图，在⊿ABC中，∠BAC=，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：

四边形AEFG是菱形；

13、如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分∠BAF，E为BC中点，求证：

AF=BC+CF

14、已知ΔABC中，E、F分别为AB、AC的中点，CD平分∠BCA交EF于D，

求证：

AD⊥DC

15、已知：

平行四边形ABCD中，AB+BC=11cm，∠A=150°，平行四边形ABCD的面积是15cm2，求AB，BC。

16、如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、

△BCE、△ACF，猜想：

四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论.

17、已知：

P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足.

求证：

AP=EF.

18、如图,△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE.

（1）求证：

△ACD≌△CBF.

（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°.

19、如图，在Rt⊿ABC中，∠C=，AC=AB，AB=30，矩形DEFG的一边DE在AB上，顶点G、F分别在AC、BC上，若DG：

GF=1：

4，求矩形DEFG的面积是；

20、如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，AE为∠BAD的平分线，交GC的延长线于E，求证：

BD=CE；

答案：

1、∵AE平分∠BAD∵∠BAE=45°∴△ABE是等腰直角三角形∴BE=BA∵∠BAE=45°,∠CAE=15°

∴∠BAO=60°∵OA=OB∴⊿ABO是等边三角形∴BA=OB=BE∴∠BEO=∠BOE∵∠EBO=∠CAD=30°∴∠BOE=75°

2、菱形对角线即角平分线∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°，即AB=2AO，设AO=x，则AB=2x，

则OB==x，即（3+）x=3+即x=1，∴菱形的对角线长为2、2，

故菱形ABCD的面积为S=×2×2=2．故答案为2．

3、解设BF=xEB=y

所以矩形ABCD面积=abs1=1/2a（b-x）s2=1/2b（a-y）s3=1/2xy

因为s1=s2=1/2（s3+s4）所以s1+s2=s3+s4=1/2ab所以s4=1/2ab-s3

s1=s2=1/4abs3=1/8ab所以s4=3/8ab

4、连AC，因为ABCD为菱形且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，所以AC=AD，∠FAD=∠BAD-∠BAE-∠EAF=120°-20°-60°=40°，而且，∠ACD=ADF=60°,所以三角形ACE全等于三角形ADF，所以AE=AF，又因为∠EAF=60°，所以三角形EAF为等边三角形。

所以∠AEF=60°，又因为∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF，而∠AEB=180°-∠B-∠BAE=180°-60°-20°=100°，所以∠CEF=180°-100°-60°=20°。

5、延长MB到点E使BE=DN，连接AE，易证△ADN≌△ABE，∠DAN=∠BAE，AN=AE

∴∠EAN=90°∵△CMN的周长等于正方形周长的一半∴MN=BM+DN=ME

∵AM=AM∴△EAM≌△NAM∴∠MAN=1/2∠EAN=45°

6、∵AE=AB=CD, ∠E=∠B=90°=∠D, ∠AFE=∠CFD,∴△AFE≌△CFD,∴EF=DF.

7、解：

取AD的中点F，连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，∵BC=2AB，E为BC中点，∴AB=BE，

∴∠BAE=∠AEB，∵BE=AF，∴四边形ABEF是平行四边形

∴四边形ABEF是菱形，∴AB∥EF，∴∠BAE=∠AEF，

∴∠AEF=∠AEB，同理：

∠FED=∠CED，∴∠AED=∠AEF+∠FED=×180°=90°．

8、设正方形的边长为x，则AC=AE=x，菱形的面积为底×高，x•x=9，可求出x的长为3．即正方形边长为3．

9、∵E、F、G分别是BC、AB、AC的中点∴FG和EF均是⊿ABC的中位线∴FG//BC,EF//AC

∴四边形EFGC是平行四边形∴EF=CG,FG=CE∵⊿ADC是直角三角形,且DG为斜边中线

∴DG=½AC=CG∴EF=DG又∵ED=CE-CD=FG-CD＜FG,ED//FG∴四边形EDGF是等腰梯形

10、当DGEF是平行四边形时，应该满足对边相等的条件，即EF=GD由于CEFG是正方形，故EF=CG从而可知此时有CG=GD，即G处于CD的中点位置。

证明：

当G运动到CD的中点时，由于CEFG是正方形，EF//CG//CD//GD，且EF=CG=GD=CE=GF连接GE、DF，则由于四边形DGEF的对边DG和FE平行且相等，故DGEF为平行四边形。

3）.当BH垂直平分DE时，连接GE，则三角形GHD和三角形GHE为全等的直角三角形，即有GD=GE,另，由于GCEF为正方形，股GE=（根号下2）*CG,从而：

CD=（根号下2+1）*CG=1可求得CG=根号下2-1即：

G运动到CD的（根号下2-1）处时，BH垂直平分DE。

11、作EG⊥AC,G∈AC,则EG＝DO[O是中心,ED‖AC],得到EG＝AC/2.

∠GCE＝30º,∴CE＝2EG＝AC,∠AEC＝（180º-30º）/2＝75º

∠AFE＝∠BCE＝45º+30º＝75º＝∠AEF.∴AE＝AF

12、∵EF⊥BC ∠BAC=90°∴△AEC与△FEC同是直角三角形且共斜边CE又∵CE平分∠ACB∠ACE=∠FCE∴△AEC≌△FCE   ∴AE=FE     AC=FC∵AC=FC   ∠ACE=∠FCE   △ACG与△FCG共边CG∴△ACG≌△FCG∴AG=FG       加上AE=FE∴四边形AEFG是菱形

13、过点E作EM⊥AF，交AF于M∵AE是∠BAF的角平分线∴BE=EM故AB=AM∵E是BC的中点∴BE=EC∴EC=EM，又EF为公共边∴Rt△EFM≌Rt△EFC∴MF=FC∴AF=AM+MF=AB+FC而AB=BC（正方形的边）∴AF=BC+FC

14、证明：

因为E，F为重点所以EF//BC又CD为角C的平分线那么角EDC=角DCB=角FCD又因为AF=DF=FC那么设角DAF=∠1所以∠DAF=∠ADF=∠1设EDC=角DCB=角FCD=EDC=角DCB=角FCD=∠2又∠DFA=2∠2那么在三角形DAF中∠ADF+∠DAF+∠DFA=180即2∠1+∠2=180所以∠1+∠2=90度即∠ADF+∠FDC=90度所以AD⊥DC

15、AB=6，BC=5或AB=5，BC=6

16、证明：

四边形ADEF是平行四边形．连接ED、EF，

∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．

∴∠DBE=∠ABC．∴△ABC≌△DBE．同理可证△ABC≌△FEC，∴AB=EF，AC=DE．

∵AB=AD，AC=AF，∴AD=EF，DE=AF．∴四边形ADEF是平行四边形．

17、证明：

如图，连接PC，∵PE⊥DC，PF⊥BC，四边形ABCD是正方形，

∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC=EF，

又∵P为BD上任意一点，∴PA、PC关于BD对称，可以得出，PA=PC，所以EF=AP．

18、

（1）在△ACD和△CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．

（2）当∠DEF=30°，即为∠DCF=30°，在△BCF中，∠CFB=90°，即F为AB的中点，又因为△ACD≌△CBF，所以点D为BC的中点．

证明：

（1）由△ABC为等边三角形，AC=BC，∠FBC=∠DCA，

在△ACD和△CBF中，

，

所以△ACD≌△CBF（SAS）；

（2）当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角DEF=30度按上述条件作图，连接BE，在△AEB和△ADC中，AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，即∠EAB=∠DAC，AE=AD，∴△AEB≌△ADC（SAS），又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB，∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，∴△EFB为正三角形，∴EF=FB=CD，∠EFB=60°，又∵∠ABC=60°，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥BC，而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，∴四边形CDEF为平行四边形，∵D在线段BC上的中点，∴F在线段AB上的中点，∴∠FCD=×60°=30°则∠DEF=∠FCD=30°．

19、100

20、证明:

四边形ABCD是矩形∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90º又∵AD=DA∴⊿BAD≌⊿CDA