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新疆财经大学本科毕业论文

题目:

微分和积分在不等式中的应用

学号：

2005101412

学生姓名：

阿卜杜瓦哈普·阿卜杜热西提

院部：

应用数学学院

专业：

应用数学

年级：

数学06-2班

指导教师姓名职称：

阿孜古丽·伊克木（讲师）

完成日期：

年月日

摘　要

微积分和不等式都是数学中极为重要的内容，本文在回顾了几种常用的证明不等式的初等方法后，利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、极（最）值的判定法、定积分的性质等一些微积分知识探讨不等式的证明方法，最后指出了微积分在不等式证明中的具体应用．

微积分是数学中的重要组成部分，是研究函数的性质，证明不等式，探求函数的极值、最值，求曲线的斜率和解决一些物理问题的有力工具．微积分的应用为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和新的途径，可以说微积分是打开数学知识大门的一把钥匙.微积分在实际生活中的应用非常广泛，在不等式证明中也发挥着巨大的作用.不等式的证明方法很多，灵活地运用微积分的性质及相关定理是解决许多不等式证明问题的关键．本篇论文归纳和总结了一些证明不等式的方法与技巧，利用微积分证明不等式的基本思想和基本方法，提出了运用这些方法和技巧能够使不等式的求解过程更为简单的思路．

．

关键词：

微积分；不等式；微分中值定理；泰勒公式；函数的单调性；极（最）值的判定法；

目录

前言 1

第一章微积分 2

§1微积分的发展 2

§2微积分的概念 3

第二章不等式 7

§1不等式的定义和性质 7

§2常用的证明不等式的方法 8

第三章微积分在不等式中的应用 12

§1利用微分证明不等式 12

§2利用积分证明不等式 19

结论 23

参考文献 24

致谢 25

新疆财经大学2011届本科生毕业论文

前言

在高等数学中常常要证明一些不等式。

而不等式的证明方法很多,在以往多采用代数或几何方法,现在可借助于微积分的知识,这是普遍应用的一种方法。

本论文着重介绍用微积分知识来证明不等式的几种常用方法。

利用微分中值定理这是证明不等式用得最多的方法

不等式是中学数学的重点内容之一。

不等式的许多证法中,往往需要有较高的技巧。

利用微积分的思想证明不等式,使不等式的证明过程大大简化,技巧性降低。

同时体现了高等数学对初等数学的指导作用。

利用微积分证明不等式,其中包利用泰勒公式、函数单调性、函数的最值、曲线的凹凸性、构造辅助函数、运用导数积分等方法,给出一些主要的证明方法,并举例加以说明应用

不等式的证明是高中数学的重要难点之一。

不等式的种类繁多，证明的方法难易悬殊，使用的技巧各异，教材对不等式的证明给出了系统总结。

尽管如此，我们在面对很多不等式时还是无法快速简便地证明它。

我们不难发现它们都是以微积分为背景的。

随着课程改革，新课程的实施。

微积分的初步知识进入了高中教材，以定积分，导数为背景的不等式的证明题型在高考和各类竞赛中屡屡出现。

本文分别从微分和导数两个大的方向分类讨论了证明不等式的几类方法。

本文的目的，通过对不等式的证明，对微分，积分相关知识和相关性质进行归纳，总结。

使学生明白如何利用微分中介定理，单调性判别法，最值原理，以及凸凹判别法等来证明不等式。

第一章微积分

将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分．微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一．它既是一门基础学科，又是一门应用广泛的学科．要想掌握高等数学的任何一个分支不熟悉微积分是不可能的，因此，研究微积分的一些性质及应用具有很大的必要性．

§1微积分的发展

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题的解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科．17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨．

1.1微积分的思想

微积分成为一门学科是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了．公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287～前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想．极限理论作为微积分的基础早在我国的古代就有非常详尽的论述.意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》中，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的．这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备．

1.2微积分的创立

由于17世纪工业革命的直接推动，英国科学家牛顿和德国科学家莱布尼茨在许多数学家工作的基础上创立了微积分，他们为变量建立了一种新型的行之有效的运算规则，去描述因变量在一个短暂瞬间相对于自变量的变化率，以及在自变量的某个变化过程中因变量作用的整体积累，前者称为微商，后者称为积分，统称微积分．此后，数学的发展逐渐出现了一日千里之势，形成了内容丰富的高等代数、高等几何、与数学分析三大分支，在此基础上，还出现了一些其他分支．

§2微积分的概念

2.1求变速直线运动物体的瞬时速度

假定物体作变速直线运动，其运动方程为，求物体在时刻的瞬时速度.对于匀速直线运动的速度，可用

o

o

图2.1

公式“速度=路程/时间”求得，而变

速直线运动的速度如何来求呢？

下面

来讨论这个问题.

如图2.1，设物体在时刻的

位置为，在时刻的位置为

，则物体在这段时间内所经过的路程为,物体的平均速度为

由于速度是连续变化的，故当很小时，平均速度可以作为物体在时刻瞬时速度的近似值，而且越小，近似程度越好，所以当时，若趋向于一定值，则平均速度的极限

就是物体在时刻的瞬时速度.

2.2微分的基本概念及运算法则

定义1设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处有增量仍在该邻域内，相应地函数有增量，如果与之比当时，极限

存在，那么这个极限值称为函数在点的导数，并且说，函数在点处可导，记作，即

．

如果极限不存在，就说函数在点处不可导．

如果固定，令，则当时，有，故函数在处的导数也可表示为

．

设函数与在点处可导,则有如下求导法则:

（1）；

（2）；

（3）（）．特别地,当（为常数）时,有

．

定义2若函数在点处的改变量可以表示成

，

其中为比高阶无穷小，则称函数在点处可微，并称其线性主部为函数在点处的微分，记为或，即且有，这样．

　　因为函数的微分等于导数乘以，所以根据导数的运算法则，就能得到相应的微分运算法则．

若函数与可微，则

（1），其中是常数；

（2）；

（3）；

（4）.

2.3定积分的基本概念及性质

定义3设函数在上有定义,任取分点

，

分为个小区间．记

，

再在每个区间上任取一点，作乘积的和式：

，

如果时，上述极限存在，则称此极限值为函数在区间上的

定积分，记为

，

其中称为被积函数，为被积式，为积分变量，为积分区间，分别称为积分的下限和上限．

定理1设函数在闭区间上连续，又是的任一个原函数，则有

．

（1）

公式

（1）叫做牛顿-莱布尼茨公式．

例利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分。

解：

（1）

（2）

第二章不等式

不等式是数学中的重要内容之一，是求解一些数学问题的有效工具，不等式除了可以用来解决一些关于不等量的实际问题，对于研究函数的定义域和值域也有广泛的应用．

§1不等式的定义和性质

1.1不等式的定义

形如

的表达式称为不等式，这里和可能是数也可是函数，记号称为不等号，分别读作：

小于（小于等于），大于（大于等于）．

用符号和表示的不等式称为严格不等式，而用符号和表示的不等式称为非严格不等式．

不等式可分为两类：

算术（或数值）不等式，即只用数字表示的不等式，例如：

；非算术不等式，即除了数字以外还出现一个或几个变量的函数的不等式，例如:

，．

1.2不等式的性质

在进行证明不等式或利用不等式解题时，有必要将原不等式转化为一个新的且与原不等式等价的不等式，因此，常利用下面一些不等式的性质：

性质1如果，那么；如果，那么．

性质2如果，那么；如果，那么．

性质3如果，那么；如果，那么．

性质4如果不等式的两边同乘（同除）同一个正的量，那么得到的不等式与原不等式同向；如果不等式的两边同乘（同除）同一个负的量，那么得到的不等式与原不等式反向,即如果，，那么；如果，，那么；

如果，，那么；如果，，那么.

性质5如果不等式的左右两边同时加上一个量，那么所得到的不等式与原不等式同向，即

如果，那么．

§2常用的证明不等式的方法

2.1差值比较法

差值比较法是证明不等式中最基本．最重要的方法之一，其理论依据是不等式的基本性质：

“若，则；若，则．”

一般步骤为：

①做差：

考察不等式左右两边构成的差式，将其看做为一个整体；②变形：

将不等式两边做差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积或变形为一个或几个平方的和等等方式．其中变形是差值法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：

根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所要求不等式成立的结论，此方法一般是适用于被证的不等式两段是多项式、分式或对数式．

例1已知为正数，证明：

.

证明因为

，

所以可得到

.

2.2综合法

综合法是利用已知条件、重要不等式或已经证明过的不等式作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步地逻辑推理，最后推理出所要证明的不等式．其特点和思路是“由因导果”，从“已知”观察逐步推出“结论”．其逻辑关系为：

，即从已知逐步推演出不等式成立的必要条件，从而得出结论．

例2已知为实数，求证．

证明因为

，，，

三式相加并变形得：

，

同理可证

，

所以

．

2.3分析法

分析法是从要证明的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件进而转化为判定是否具备那个条件的过程，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“须知”，逐步靠拢“已知”，其逻辑关系：

，为了证明命题成立，只需求证命题为真，从而推演出又有直到为真，最后只需证明为真，而已知为真，故也必为真．其逻辑关系告诉我们分析法证明是步步寻求上一步成立的充分条件．

例3已知，证明：

，并讨论为何值时等式成立．

证明假设此不等式成立，于是

，

因为，所以

，

即

，，，

这显然是成立的，且以上每步过程是可逆的，当且仅当时，即时，不等式成立，原命题得证．

2.4换元法

换元法是对一些结构比较复杂、变量较多、变量关系不甚明了的不等式引入一个或几个变量进行代换，以便简化原有的