奥数专题平面图形之圆的面积(有例题讲解和相应的练习).doc
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平面图形面积————圆的面积
专题简析：
在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
并且同学们应该牢记几个常见的圆与正方形的关系量：
在正方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的,而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的,这些知识点都应该常记于心，并牢牢掌握！
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例题1。
求图中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
【分析】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成1/4圆的面积。
62×3.14×1/4＝28.26（平方厘米）
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练习1
1.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
2.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
答例题2。
求图中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
【分析】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
3.14×42×1/4－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）
练习2
1、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：
厘米，正方形边长4）。
答
2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：
厘米，正方形边长4）。
答
12
.111
例题3。
如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。
求长方形ABO1O的面积。
【分析】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。
又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。
所以
3.14×12×1/4×2＝1.57（平方厘米）
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练习3
1、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆
分成相等的两段弧，阴影部分
（1）的面积与阴影部分
（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。
答
2、如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。
答
例题4。
如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
【分析】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。
半径：
4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：
180－（180－30×2）＝60（度）
扇形的面积：
2×2×3.14×60/360≈2.09（平方厘米）
三角形BOC的面积：
7÷2÷2＝1.75（平方厘米）
7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）
练习4
1、如图，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC＝6厘米，BD：
DC＝3：
1。
求阴影部分的面积。
答
2、如图所示，求阴影部分的面积（单位：
厘米。
得数保留两位小数）。
答
3、如图所示，求阴影部分的面积（单位：
厘米。
得数保留两位小数）。
答
123
例题5。
如图所示，求图中阴影部分的面积。
【分析】
解法一：
阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米
【3.14×102×1/4－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）
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解法二：
以等腰三角形底的中点为中心点。
把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
（20÷2）2×1/2－（20÷2）2×1/2＝107（平方厘米）
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练习5
1、 如图所示，求阴影部分的面积（单位：
厘米）答
2、如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。
求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？
答
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例题6
如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
【分析】
解法一：
先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。
如图所示。
3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）
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解法二：
把阴影部分看作
（1）和
（2）两部分如图20－8所示。
把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影
（1）的面积，即长方形的面积。
3.14×42×1/4+3.14×62×1/4－4×6＝16.28（平方厘米）
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练习6
1、 如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。
以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。
求图中阴影部分的面积。
答
2、如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。
求图中阴影部分的面积。
答
例题7。
在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
【分析】
先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。
空白部分的一半：
10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：
10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
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练习7
1、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
答
2、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
答
3、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
答
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例题8。
在正方形ABCD中，AC＝6厘米。
求阴影部分的面积。
【分析】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。
但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。
根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。
这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：
6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：
18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是3.87平方厘米。
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练习8
1、如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
答
2、如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。
求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。
答
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例题9。
在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。
求阴影部分的面积。
【分析】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。
可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。
我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。
这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。
3.14×（30×2）×1/4－30＝17.1（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是17.1平方厘米。
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练习9
1、如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。
答
2、如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。
答
上面所举的例子只是常见的圆的组合图形面积解法，在以后的练习中，还希望同学们能举一反三，总结自己的学习方法与心得与体会，达到举一反三的效果！
圆的面积与组合圆积专题训练
一、填空题
1.算出圆内正方形的面积为.
2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是
平方厘米.
2
6厘米
3.一个扇形圆心角,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是.
4.如图所示,以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是厘米.（保留两位小数）
E
D
C
B
A
5.三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米.AB长40厘米,BC长厘米.
C
②
①
A
B
6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积为.
7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是度.
8.图中扇形的半径OA=OB=6厘米.,AC垂直OB于C,那么
6
C
B
A
O
45
图中阴影部分的面积是平方厘米.
9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是平方厘米.
10.在右图中（单位:
厘米）,两个阴影部分面积的和是平方厘米.
12
15
20
11.如图,阴影部分的面积是.
2
1
2
12.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积大平方厘米.
13.在一个半径是4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是平方厘米.（取3.14,结果精确到1平方厘米）
14.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是（平方厘米）.
15.如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是厘米.
16.如图,的圆的周长为62.8厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是.
E
D
C
B
AA
G
F
17.已知:
ABCD是正方形,ED=DA=AF=2厘米,阴影部分的面积是.
O
D
C
A
B
18.图中,扇形BAC的面积是半圆ADB的面积的倍,那么,是度.
20.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差（大减小）是平方厘米.（取3.14）
2
甲
乙
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