圆中有关定理.doc

圆中有关定理.doc

《圆中有关定理.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆中有关定理.doc（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理

如图1对于切线长定理，应明确

（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；

（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角（如图2）：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

图2

图1

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？

（四个）ÐAPC,ÐAPD,ÐBPD,ÐBPC

4.弦切角定理：

弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

即如上图中ÐAPC=ÐCDP等

证明：

如图2，连接CD、OC、OP，因为ÐCPO=ÐPCO,所以ÐCOP=180°-2ÐCPO而ÐCPO=90°-ÐAPC,故ÐCOP=2ÐAPC,即ÐCDP=ÐAPC。

5.弄清和圆有关的角：

圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段

定理

图形

已知

结论

证法

相交弦定理

⊙O中，AB、CD为弦，交于P.

PA·PB＝PC·PD

连结AC、BD，ÐC=ÐB,ÐA=ÐD,所以△APC∽△DPB

相交弦定理的推论

⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.

PC2＝PA·PB

用相交弦定理.

切割线定理

⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A

PT2＝PA·PB

连结TA、TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以

PT2＝PA·PB

切割线定理推论

PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C

PA·PB＝PC·PD

过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理

圆幂定理

⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦

P'C·P'D＝r2－OP'2

PA·PB＝OP2－r2

r为⊙O的半径

延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证

8.圆幂定理：

过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。

在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：

AE的值。

图1

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，求CE。

图2

例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。

例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：

PB＝1：

4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

图3

例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，求证：

（1）；

（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4

例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。

求证：

图5

例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。

求证：

AD·BC＝CD·AB

图6

例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。

求证：

BC＝2OE。

图7

例9.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。

点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。

当∠DEF＝45°时，求证:

点G为线段EF的中点；

图8

【模拟试题】（答题时间：

40分钟）

一、选择题

1.已知：

PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）

A.20/3B.25/3C.5D.8

2.下列图形一定有内切圆的是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.梯形

3.已知：

如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）

图1

A.50°B.40°C.60°D.55°

4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：

4，则另一弦长为（）

A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm

5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD=cm，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）

A.cmB.cmC.cmD.cm

6.PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）

A.20B.10C.5D.

二、填空题

7.AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。

8.已知：

⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。

9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，PA=，则PC的长为_____________。

10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则=_____________。

三、解答题

11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。

图2

12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：

CB平分∠DCP。

图3

13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB=cm，求⊙O的半径。

图4

圆的有关定理例题答案

例1解：

由切线长定理知：

AF＝AB＝1，EF＝CE

设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理

∴，，

例2解：

由相交弦定理，得AE·BE＝CE·DE

∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，

，

∴，

即

∴CE＝3cm或CE＝4cm。

故应填3或4。

点拨：

相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。

例3解：

∵∠P＝∠P∠PAC＝∠B，

∴△PAC∽△PBA，

∴，∴。

又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得

∴，

即，故应填PC。

点拨：

利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。

例4解：

∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：

PB＝1：

4∴PB＝4PA又∵PC＝12cm

由切割线定理，得

∴

∴，

∴

∴PB＝4×6＝24（cm）

∴AB＝24－6＝18（cm）

设圆心O到AB距离为dcm，

由勾股定理，得

故应填。

例5证明：

（1）连结BE

（2）

。

又∵，

∴厘米。

点拨：

有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。

例6证明：

连结BD，∵AE切⊙O于A，

∴∠EAD＝∠ABD∵AE⊥AB，又AB∥CD，

∴AE⊥CD∵AB为⊙O的直径∴∠ADB＝90°

∴∠E＝∠ADB＝90°∴△ADE∽△BAD

∴∴

∵CD∥AB

∴AD＝BC，∴

例7点悟：

由结论AD·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC

证明：

∵PA切⊙O于A，∴∠PAD＝∠PBA

又∠APD＝∠BPA，∴△PAD∽△PBA

∴同理可证△PCD∽△PBC

∴∵PA、PC分别切⊙O于A、C

∴PA＝PC∴∴AD·BC＝DC·AB

例8点悟：

由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。

而OA＝OB，只须证AE＝CE。

证明：

连结OD。

∵AC⊥AB，AB为直径

∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D

∴EA＝ED，OD⊥DE∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB

在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B∵∠ODE＝90°

∴

∴∠C＝∠EDC∴ED＝EC∴AE＝EC

∴OE是△ABC的中位线∴BC＝2OE

例9解：

由∠DEF＝45°，得

，

∴∠DFE＝∠DEF∴DE＝DF

又∵AD＝DC∴AE＝FC