因式分解辅导精品资料.doc

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一、基本知识点：

1、因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

【说明】

（1）因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.

例如：

（2）因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

2提公因式法

多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m（a+b+c）就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式（a+b+c）是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.

例如：

x2-x=x（x-1），8a2b-4ab+2a=2a（4ab-2b+1）.

知识点巩固练习

下列变形是否是因式分解？

为什么，

（1）3x2y-xy+y=y（3x2-x）；

（2）x2-2x+3=（x-1）2+2；

（3）x2y2+2xy-1=（xy+1）（xy-1）；

（4）xn（x2-x+1）=xn+2-xn+1+xn.

3公式法分解因式

（1）平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）.

即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.

例如：

4x2-9=（2x）2-32=（2x+3）（2x-3）.

（2）完全平方公式：

a2±2ab+b2=（a±b）2.

其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.

即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.

例如：

4x2-12xy+9y2=（2x）2-2·2x·3y+（3y）2=（2x-3y）2.

知识点巩固练习

下列变形是否正确？

为什么？

（1）x2-3y2=（x+3y）（x-3y）；

（2）4x2-6xy+9y2=（2x-3y）2；

（3）x2-2x-1=（x-1）2.

典型例题

例1、分解因式

（1）4x2-9

（2）（x+p）2-（x+q）

（3）x4-y4（4）a3b-ab

针对性练习

把下列各式分解因式

（1）36（x+y）2-49（x-y）2

（2）（x-1）+b2（1-x）

（3）（x2+x+1）2-1（4）-

例2、把下列各式分解因式.

（1）m2+2m+1；

（2）9x2-12x+4；

（3）1-10x+25x2； （4）（m+n）2-6（m+n）+9.

针对性练习

把下列各式分解因式.

（1）（x2+4）2-2（x2+4）+1；

（2）（x+y）2-4（x+y-1）.

（3）x3-2x2+x； （4）（a+b）2-4a2； （5）x4-81x2y2；

（6）x2（x-y）+y2（y-x）； （7）（a+b+c）2-（a-b-c）2.

例3、利用因式分解计算下列各题.

（1）234×265-234×65；

（2）992+198+1.

针对性练习

利用因式分解计算下列各题.

（1）7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；

（2）20022-4006×2002+20032；

（3）5652×11-4352×11；（4）（5）2-

（2）2.

例4、若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=.

练习若x2+（k+3）x+9是完全平方式，则k=.

补充几种分解因式的方法：

1、分组分解法

（1）形如：

am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）

=a（m+n）+b（m+n）

=（m+n）（a+b）

（2）形如：

x2-y2+2x+1=（x2+2x+1）-y2

=（x+1）2-y2

=（x+y+1）（x-y+1）.

把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.

分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：

（1）按字母分组；

（2）按次数分组；

（3）按系数分组.

典型例题

例：

把下列各式因式分解.

（1）am+bm+an+bn；

（2）x2-y2+x+y；（3）2ax-5by+2ay-5bx.

2、关于x2+（p+q）x+pq型二次三项式的因式分解又称为“十字相乘法”

典型例题

例：

把x2+3x+2分解因式.

针对性练习

例1、把下列各式分解因式.

（1）x2+7x+10；

（2）x2-2x-8；

（3）y2-7y+10； （4）x2+7x-18.

例2、解方程组

针对性练习

1、把下列各式分解因式.

（1）m2-7m+12；

（2）x2y2-3xy-10；

（3）（m-n）2-（m-n）-12； （4）x2-xy-2y2.

2、解方程组

3、若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2+b2+c-ab-ac-bc=0，试判断这个三角形的形状.

二、课前小测试：

三、提高练习：

1、计算.

2、分解因式（x4+x2-4）（x4+x2+3）+10.

3、求证：

四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.

四、课后练习

A组

1.若x2+2（m-3）x+16是完全平方式，则m的值等于（）

A.3 B.-5 C.7. D.7或-1

2.若（2x）n-81=（4x2+9）（2x+3）（2x-3），则n的值是（）

A.2 B.4 C.6 D.8

3.把（a+b）-4（a2-b2）+4（a-b）2分解因式的结果是（）

A.（3a-b）2 B.（3b+a）2 C.（3b-a）2 D.（3a+b）2

4.把（5x-2y）2+（2x+5y）2分解因式为（）

A.2（5x-2y）2 B.-2（5x-2y）2C.29（x2+y2） D.以上都不对

5.若多项式x2+pxy+qy2=（x-3y）（x+3y），则p,q的值依次为（）

A.-12,-9 B.-6,9 C.-9,-9 D.0,-9

6.分解因式：

4x2-9y2=.

7.利用因式分解计算：

=.

8.若x=3.2，y=6.8，则x2+2xy+y2=.

9.把多项式4-4（a-b）+（a-b）2分解因式的结果是.

10.计算：

12-22+32-42+52-62+72-82+92-102=.

11.分解因式.

（1）（x+y）2-9y2；

（2）a2-b2+a+b；（3）10b（x-y）2-5a（y-x）2；

（4）（ab+b）2-（a+1）2；（5）（a2-x2）2-4ax（x-a）2；（6）（x+y+z）2-（x-y+z）2.

12.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.

13.已知x-y=2，x2-y2=6，求x与y的值.

14.利用因式分解计算19992+1999-20002.

15.解方程（65x+63）2-（65x-63）2=260.

16.已知a,b,c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2，试说明△ABC是等边三角形.

17.当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值？

并求出这个最小值.

18、利用分组分解法把下列各式分解因式.

（1）a2-b2+a-b；

（2）a2+b2-2ab-1；

（3）（ax+by）2+（ay-bx）2； （4）a2-2ab+b2-c2-2c-1.

B组

1．下列各单项式中，与是同类项的为（）

A.B.C.D.

2．的计算结果是（）

A.B.C.D.

3．下面是某同学在一次作业中的计算摘录：

①；②；③；

④；⑤；⑥

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4．下列分解因式正确的是（）

A.B.

C.D.

5．若为整数，则一定能被（）整除

A．B．C．D．

6.如图：

矩形花园中花园中建有一条矩形道路及一条平行四边形道路．若，则花园中可绿化部分的面积为（）

A.B.

C.D.

7．从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　）

A．　　　　　B．

C．　　　D．

8．小亮从一列火车的第m节车厢数起，一直数到第2m节车厢，他数过的车厢节数是………………（）

A.m＋2m＝3m　　　B.2m－m＝m　

　C.2m－m－1＝m－1　　D.2m－m＋1＝m＋1

9.;

10．多项式加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能是．

11．分解因式：

＝________________.

12．如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）=63，那么a＋b的值为．

13．_______．

14．如图，要给这个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的长至少要．（用含x、y、z的代数式表示）．

15．（17分）计算：

①②

③已知：

，求的值

16．分解因式（①,②每题6分,③题分8分）

　①　　　　　　　　　②

③（8分）

17.（7分）把20cm长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是5cm2，求这两段铁丝的长．

18．（8分）探索：

．．．．．．

①试求的值

②判断的值的个位数是几？