因式分解培优专题(一).docx

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博学且深思涵养而精进

初三数学因式分解培优专题

（一）

一、用提公因式法把多项式进行因式分解

【知识精读】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：

（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

【分类解析】

1.把下列各式因式分解

（1）

（2）

分析：

（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：

（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：

当n为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：

2.利用提公因式法简化计算过程

例：

计算

分析：

算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：

3.在多项式恒等变形中的应用

例：

不解方程组，求代数式的值。

分析：

不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。

解：

4.在代数证明题中的应用

例：

证明：

对于任意自然数n，一定是10的倍数。

分析：

首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

解：

5、中考点拨：

例1。

因式分解

解：

说明：

因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。

例2．分解因式：

解：

说明：

在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

举一反三：

1、分解因式：

（1）

（2）（n为正整数）

（3）

2.计算：

的结果是（）

A. B. C. D.

3.已知x、y都是正整数，且，求x、y。

4.证明：

能被45整除。

二、运用公式法进行因式分解

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：

平方差公式

完全平方公式

立方和、立方差公式

补充：

欧拉公式：

特别地：

（1）当时，有

（2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】

1.把分解因式的结果是（）

A. B.

C. D.

分析：

。

再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择B。

说明：

解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

例：

已知多项式有一个因式是，求的值。

分析：

由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。

解：

3.在几何题中的应用。

例：

已知是的三条边，且满足，试判断的形状。

分析：

因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。

所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

解：

4.在代数证明题中应用

例：

两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：

先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：

5、中考点拨：

例1：

因式分解：

______________________。

说明：

因式分解时，先看有没有公因式。

此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2：

分解因式：

______________________。

说明：

先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示：

例1.已知：

，

求的值。

解：

说明：

本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2.已知，

求证：

证明：

说明：

利用补充公式确定的值，命题得证。

例3.若，求的值。

解：

说明：

按常规需求出的值，此路行不通。

用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

举一反三：

1.分解因式：

（1）

（2）

（3）

2.已知：

，求的值。

3.若是三角形的三条边，求证：

4.已知：

，求的值。

5.已知是不全相等的实数，且，试求

（1）的值；

（2）的值。

因式分解练习题

1、若是完全平方式，则m=_________。

2、

3、已知则

4、若是完全平方式M=_______。

，

5、若是完全平方式，则k=_______。

6、若的值为0，则的值是____________。

7、若则=____________。

8、若则_______________。

9、方程，的解是____________________。

二、选择题：

（10分）

1、多项式的公因式是（）

A、－a、B、C、D、

2、若，则m，k的值分别是（）

A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、

3、下列名式中能用平方差公式分解因式的有（）

A、1个，B、2个，C、3个，D、4个

4、计算的值是（）

A、B、

三、分解因式：

（30分）

1、2、

3、4、

5、6、

7、3ax2+6axy+3ay28、9、

四、代数式求值（15分）

1、已知，，求的值。

2、若x、y互为相反数，且，求x、y的值

3、已知，求的值

五、计算：

（15）

（1）0.75

（2）　

（3）

六、试说明：

对于任意自然数n，都能被动24整除。

4/4