因动点产生的平行四边形问题(中考压轴题).doc

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因动点产生的平行四边形问题

例12012年福州市中考第21题

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：

QB＝_______，PD＝_______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？

若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．

图1　图2

动感体验

请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．

请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.

思路点拨

1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．

2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．

满分解答

（1）QB＝8－2t，PD＝．

（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．

过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．

在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．图3

在Rt△APE中，，所以．　

当PQ//AB时，，即．解得．

所以点Q的运动速度为．

（3）以C为原点建立直角坐标系．

如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E（3，0）．

如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F（1，4）．

直线EF的解析式是y＝－2x＋6．

如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．

所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．

图4图5图6

考点伸展

第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：

当t＝2时，PQ的中点为（2，2）．

设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E（3，0）、F（1，4）和（2，2），

得解得a＝0，b＝－2，c＝6．

所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．

例22012年烟台市中考第26题

如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1,0）、C（3,0）、D（3,4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？

最大值为多少？

（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？

请直接写出t的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，△ACG的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和△ECH′，可以体验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′，因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．

请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，即t=2，△ACG的面积取得最大值1．观察CQ，EQ，EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。

思路点拨

1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．

2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．

3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．

满分解答

（1）A（1,4）．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，

代入点C（3,0），可得a＝－1．

所以抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．

（2）因为PE//BC，所以．因此．

所以点E的横坐标为．

将代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝．

所以点G的纵坐标为．于是得到．

因此．

所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．

（3）或．

考点伸展

第（3）题的解题思路是这样的：

因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．

再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．

，，，．

如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此．

整理，得．解得，（舍去）．

如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此．

整理，得．．所以，（舍去）．

图2图3

例32011年上海市中考第24题

已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA．二次函数

y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．

思路点拨

1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．

2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．

3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．

满分解答

（1）当x＝0时，，所以点A的坐标为（0，3），OA＝3．

如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为．将代入，得x＝1．所以点M的坐标为．因此．

（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A（0，3）、M，所以解得，．所以二次函数的解析式为．

（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．

在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．

因此点C的坐标可以表示为（4m，3－2m）．将点C（4m，3－2m）代入，得．解得或者m＝0（舍去）．

因此点C的坐标为（2，2）．

图2图3

考点伸展

如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：

如图4，点C的坐标为．

图4

例42011年江西省中考第24题

将抛物线c1：

沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．

（1）请直接写出抛物线c2的表达式；

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．

①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？

若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11江西24”，拖动点M向左平移，可以体验到，四边形ANEM可以成为矩形，此时B、D重合在原点．观察B、D的位置关系，可以体验到，B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况．

思路点拨

1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．

2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．

3．根据矩形的对角线相等列方程．

满分解答

（1）抛物线c2的表达式为．

（2）抛物线c1：

与x轴的两个交点为（－1，0）、（1，0），顶点为．

抛物线c2：

与x轴的两个交点也为（－1，0）、（1，0），顶点为．

抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB＝2．

抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、．所以AE＝（1＋m）－（－1－m）＝2（1＋m）．

①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：

情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE＝6．所以2（1＋m）＝6．解得m＝2．

情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE＝3．所以2（1＋m）＝3．解得．

图2图3图4

②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4（1＋m）2＝4（m2＋3）．解得m＝1（如图4）．

考点伸展

第

（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：

在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为，所以△ABM是等边三角形．

同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．

因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．

例52010年河南省中考第23题

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4,0）、B（0,－4）、C（2,0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

图1图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10河南23”，拖动点M在第三象限内抛物线上运动，观察S随m变化的图象，可以体验到，当D是AB的中点时，S取得最大值．拖动点Q在直线y＝－x上运动，可以体验到，以点P、Q、B、O为顶点的四边形有3个时刻可以成为平行四边形，双击按钮可以准确显示．

思路点拨