反比例函数常见几何模型.doc

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反比例函数常见模型

一、知识点回顾

1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=（k≠0）．其解析式有三种表示方法：

①（）；②（）；③

2．反比例函数y=（k≠0）的性质

（1）当k>0时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y随x的增大而减小．

（2）当k<0时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y随x的增大而增大．

（3）在反比例函数y=中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值（也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积）.

（4）若双曲线y=图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=．

（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．

二、新知讲解与例题训练

模型一：

如图，点A为反比例函数图象上的任意一点，且AB垂直于轴，则有

例1：

如图的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线y=在第一象限的交点，且,

（1）求m的值

（2）求的面积

变式题

1、如图所示，点,,在x轴上，且O==,分别过,,作y轴平行线，与反比例函数y=（x>0）的图像交于点,,，分别过点,,作x轴的平行线，分别与y轴交于点,,,连结,那么图中阴影部分的面积之和为__________

2、如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.

模型二：

A

B

D

F

M

N

x

y

O

如图：

点A、B是双曲线任意不重合的两点，直线AB交轴于M点，交轴于N点，再过A、B两点分别作轴于D点，轴于F点，再连结DF两点，则有：

且BM＝AN

D

F

y

x

D

C

A

B

O

F

E

例2：

如图，一次函数的图象与轴，轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：

①；②相似于；③△DCE≌△CDF；④其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）

例3：

一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接．

（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：

①；②．

（2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则与还相等吗？

试证明你的结论．

图1

图2

图1

模型三：

如图，已知反比例函数（k≠0，x>0）上任意两点P、C，过P做PA⊥x轴，交x轴于点A，过C做CD⊥x轴，交x轴于点D，则.

例4：

如图，在直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A（1,4）、B（4，1）两点，则△AOB的面积是______.

例5：

如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（1,4）、B（3，m）两点，则△AOB的面积是______.

例6：

如图1，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；

（2）如图2，过原点O的另一条直线l交双曲线于C、D两点（点C在第一象限且在点A的左边），当四边形ACBD的面积为24时，求点C的坐标．

模型四：

在矩形AOBC中，OB=a，OA=b，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E，则.

例7：

两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：

①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．

课堂练习：

一、选择题

1、已知m<0，则函数与的图像如图，大致是（）

A.B.C.D

2、如图，点A在双曲线上，且OA=4,过点

A作ACx轴，垂足为c，OA的垂直平分线交OC

于B,则的周长为（）

A.B.5

C.D.

3、如图，双曲线（k>0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）

A.B.C.D.

题3题4题5

4、如图，A,B是函数的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x轴，AC//y轴，的面积记为S，则S（）

A.S=2B.S=4C.24

5、如图所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，若双曲线y=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）

A．1

二、填空题

1、如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.

2、如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB∥轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是　　　　.

3、如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y=，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.

（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是 .

（2）设P（t，0）,当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是.

4、如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为.

5、双曲线、在第一象限的图像如图，，

过上的任意一点，作轴的平行线交于，

交轴于，若，则的解析式是．

课后习练

一、填空题

1、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．

2、反比例函数y=的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．

3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+无交点，则b的取值范围是______．

4、反比例函数y=的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______．

5、如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝___．

A

B

C

D

E

y

x

O

第5题图第6题图

6、如图，已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）

A．2B．C．D．2

7、已知P为函数y=的图像上一点，且P到原点的距离为，则符合条件的P点数为（）

A．0个B．2个C．4个D．无数个

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