华东师大版九年级数学上全册教案.doc

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2013年9月

22．1.二次根式

（1）

教学内容：

二次根式的概念及其运用

教学目标：

1、理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．

2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键：

1．重点：

形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2．难点与关键：

利用“（a≥0）”解决具体问题．

教学过程：

一、回顾

当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．

当a是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．

当a是负数时，没有意义．

二、概括：

（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a．即有：

（1）≥0（a≥0）；

（2）=a（a≥0）．

形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

注意：

在二次根式中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．

三、例题讲解

例题：

x是怎样的实数时，二次根式有意义？

分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．

解：

被开方数x-1≥0，即x≥1．

所以，当x≥1时，二次根式有意义．

思考：

等于什么？

我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：

概括:

当a≥0时，；当a＜0时，．

这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：

=2x（x≥0）；．

四、练习:

x取什么实数时，下列各式有意义.

（1）；

（2）；（3）；（4）

五、拓展

例：

当x是多少时，+在实数范围内有意义？

分析：

要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．

解：

依题意，得

由①得：

x≥-

由②得：

x≠-1

当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．

例：

（1）已知y=++5，求的值．（答案:

2）

（2）若+=0，求a2004+b2004的值．（答案:

）

六、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

七、布置作业：

教材P4：

1、2

八、反思及感想：

22.1二次根式

（2）

教学内容：

1．（a≥0）是一个非负数；2．（）2=a（a≥0）．

教学目标：

1、理解（a≥0）是非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键：

1．重点：

（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：

用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．

教学过程：

一、复习引入（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，叫什么？

当a<0时，有意义吗？

二、探究新知

议一议：

（学生分组讨论，提问解答）

（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：

根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

（a≥0）是一个非负数．

做一做：

根据算术平方根的意义填空：

（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；

（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．

老师点评：

①、是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，

②、是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．

同理可得：

（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以：

（）2=a（a≥0）

三、例题讲解

例1计算：

1．（）2，2．（3）2，3．（）2，4．（）2

分析：

我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．

解：

1.（）2=，2.（3）2=32·（）2=32·5=45，

3.（）2=，4.（）2=．

四、巩固练习

计算下列各式的值：

（）2（）2（）2（）2（4）2

五、应用拓展

例2计算

1．（）2（x≥0），2．（）2，3．（）2，4．（）2

分析：

（1）因为x≥0，所以x+1>0；

（2）a2≥0；

（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．

解：

（1）因为x≥0，所以x+1>0,（）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（）2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2,又∵（a+1）2≥0，

∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2,又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3

（2）x4-4（3）2x2-3

六、归纳小结：

本节课应掌握：

1．（a≥0）是一个非负数；2．（）2=a（a≥0）;反之:

a=（）2（a≥0）．

七、布置作业：

教材P4：

3、4

八、反思及感想：

22.1二次根式（3）

教学内容＝a（a≥0）

教学目标：

1、理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

2、通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

教学重难点关键：

1．重点：

＝a（a≥0）．

2．难点：

探究结论．

3．关键：

讲清a≥0时，＝a才成立．

教学过程：

一、复习引入：

（老师口述并板收上两节课的重要内容）

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；

2．（a≥0）是一个非负数；

3．（）2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？

下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知：

（学生活动）填空：

=_______；=_______；=______；

=________；=________；=_______．

（老师点评）：

根据算术平方根的意义，我们可以得到：

=2；=0.01；=；=；=0；=．

因此，一般地：

=a（a≥0）

三、例题讲解：

例1化简：

（1）

（2）（3）（4）

分析：

因为

（1）9=-32，

（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，

所以都可运用=a（a≥0）去化简．

解：

（1）==3

（2）==4

（3）==5（4）==3

四、巩固练习：

（见小黑板）

五、应用拓展

例2填空：

当a≥0时，=_____；当a<0时，=____，并根据这一性质回答下列问题．

（1）若=a，则a可以是什么数？

（2）若=-a，则a可以是什么数？

（3）>a，则a可以是什么数？

分析：

∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；

（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据

（1）、

（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？

a<0．

解：

（1）因为=a，所以a≥0；

（2）因为=-a，所以a≤0；

（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0

例3当x>2，化简-．

六、归纳小结：

本课掌握：

=a（a≥0）及运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．

七、布置作业:

1．先化简再求值：

当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：

原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：

原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．（提示：

注意根式有意义的隐含条件）

3.若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。

八、反思及感想：

22．2二次根式的乘除

（1）

教学内容：

·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）及其运用．

教学目标：

1、理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

2、由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教学重难点关键

1、重点：

·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．

2、难点：

发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．

3、关键：

要讲清（a<0,b<0）=，如=

或==×．

教学过程：

一、设疑自探——解疑合探

自探.（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空：

（1）×=_____，=____；

（2）×=_____，=________．

（3）×=________，=_______．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

×_____，×_____，×________

2．利用计算器计算填空

（1）×______，

（2）×______，

（3）×______，（4）×______，

（5）×______．

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：

（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

·＝．（a≥0，b≥0）

反过来:

=·（a≥0，b≥0）

合探1.计算：

（1）×，

（2）×，（3）×，（4）×

分析：

直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．

合探2化简

（1），

（2），（3），（4），（5）

分析：

利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．

二、质疑再探：

同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？

与同伴交流一下！

三、应用拓展：

判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）

（2）×=4××=4×=4=8

四、巩固练习

（1）计算（生练，师评）①×②3×2③·

（2）化简:

;;;;

五、归纳小结（师生共同归纳）

本节课掌握：

（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及运用．

六、作业设计（写在小黑板上）

（一）