十字相乘法讲义.doc
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9.15十字相乘法
教学目标:
1.理解十字相乘法的概念
2.掌握用十字相乘的方法,分解二次项系数为1的二次三项式.
3.通过课堂交流思考,形成从特殊到一般,从具体到抽象的思维品质.
教学重点:
用十字相乘的方法,分解二次项系数为1的二次三项式.
教学难点:
如何运用十字相乘的方法来因式分解.
教学突破口:
从乘法公式中的多项式乘以多项式的公式,利用逆向思维,找出公式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab中的a,b,使a+b等于一次项系数,ab等于常数项.
教学过程:
9.15十字相乘法
一、复习导入
:
计算口答:
1.(x+2)(x+1)2.(x-2)(x+3)
3.(x-1)(x-5)4.(x+3)(x-4)
(1)(x+3)(x+4)
(2)(x+3)(x-4)
(3)(x-3)(x+4)(4)(x-3)(x-4)
2.问题:
你有什么快速计算类似多项式的方法吗?
[在多项式的乘法中,有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab]
二、探索新知
1、观察与发现:
等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算.
反过来可得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解.
2、体会与尝试:
①试一试因式分解:
x2+4x+3;x2-2x-3
将二次三项式x2+4x+3因式分解,就需要将二次项x2分解为x·x,常数项3分解为3×1,而且3+1=4,恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:
x2+4x+3=(x+3)(x+1).
x+3
x+1
3x+x=4x
②定义:
利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
③拆一拆将下列各数表示成两个整数的积的形式(尽所有可能):
6=;12=;24=;
-6=;-12=;-24=.
④练一练将下列各式用十字相乘法进行因式分解:
(1)x2-7x+12;
(2)x2-4x-12;(3)x2+8x+12;
(4)x2-11x-12;(5)x2+13x+12;(6)x2-x-12;
一.复习引入.
回顾一下多项式乘以多项式的乘法公式:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
那么我们说,x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
符号规律:
q>0时,a,b同号,且a,b符号与q相同.
q<0时,a,b异号,且绝对值大的因数的符号与p相同.
二.新课探究:
1.如何将x2+3x+2分解因式?
——(不是完全平方公式,因此不能用完全平方公式来分解.)
小组讨论,进行探究.
如果没有结论,则提示:
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
我们只要使二次三项式中x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
找出规律:
只要使二次三项式中常数项q化为ab,即两数之积;把一次项系数p化为(a+b),即两数之和,就可以了.
则x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)
我们也可以借助十字交叉线来分解,即把x2分解为x×x,
常数项2分解为1×2.
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
x2
x×1
则x+2x=3x.
定义:
利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
2.体会与尝试.
1).因式分解:
x2+4x+3x2+7x+6
2).试一试:
把下列各数表示为两个整数的积的形式(尽可能多的表示出来).
6=__-6=__12=__-12=__24=__-24=__
3.例1.分解因式.
1)x2-7x+122).x2-11x-123).x2-4x-124).x2+8x+12
5).x2+13x+126).x2-x-12
(通过对比,找出分解的规律,让学生感受成功的喜悦!
)
符号规律:
q>0时,a,b同号,且a,b符号与q相同.
q<0时,a,b异号,且绝对值大的因数的符号与p相同.
4.例2.分解因式:
1)x2+5xy-24y22).x4-5x2-363).(2x+y)2+6(2x+y)-27
三.练一练.
1).x2+8x-202).x2-5x-243).x2+12x+274).x2-3x-4
1).x2+6xy-16xy2).x4+13x2+363).(a+b)2-15(a+b)+564).(a2+a)2-8(a2+a)+125).ax4-14ax2-32a
例题:
1、把m²+4m-12分解因式
分析:
本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1当-12分成-2×6时,才符合本题
解:
因为1-2
1╳6
所以m²+4m-12=(m-2)(m+6)
2、解方程x²-8x+15=0
分析:
把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5。
解:
因为1-3
1╳-5
所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0
所以x1=3x2=5
练习:
1·把5x²+6x-8分解因式2·解方程6x²-5x-25=0
例3·把14x²-67xy+18y²分解因式
分析:
把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,
则14可分为1×14,2×7,18y²可分为y.18y,2y.9y,3y.6y
解:
因为2-9y
7╳-2y
所以14x²-67xy+18y²=(2x-9y)(7x-2y)
例4·把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
分析:
在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-(27y+1)x-(28y²-25y+3)
4y-3
7y╳-1
=10x²-(27y+1)x-(4y-3)(7y-1)
2-(7y–1)
5╳4y-3
=[2x-(7y-1)][5x+(4y-3)]
=(2x-7y+1)(5x+4y-3)
说明:
在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3)(7y-1),再用十字相乘法把10x²-(27y+1)x-(4y-3)(7y-1)分解为:
[2x-(7y-1)][5x+(4y-3)]
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
2-7y
5╳4y
=(2x-7y)(5x+4y)-(x-25y)-3
2x-7y1
5x+4y╳-3
=[(2x-7y)+1][(5x+4y)-3]
=(2x-7y+1)(5x+4y-3)
说明:
在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为(2x-7y)(5x+4y),再把(2x-7y)(5x+4y)-(x-25y)-3用十字相乘法分解为[(2x-7y)+1][(5x+4y)-3].
练习题:
x2+7x+6x2-5x-6x2-5x+6x4+5x2-6
x2-7x+6a2-4a-21t2-2t-8m2+4m-12
x2-13xy-36y2a2-ab-12b2m4-6m2+8x4+10x2+9
把下列多项式分解因式:
(1)
(2)(3)(4)
5)(6)(7)(8)
(9)(10)(11)(12)
13)(14)(15)(16)
较难习题: