图1图2备用图
3.点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；
（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断
（1）中的结论是否仍然成立；
（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF=30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．
4．已知△是等边三角形，点，，分别是边，，的中点，点是射线上的一个动点，作等边△，使△与△在边同侧，连接.
（1）如图1，当点与点重合时，直接写出线段与线段的数量关系；
（2）当点在线段上（点与点，不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断
（1）中的结论是否成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）连接，直线与直线相交于点，若△的面积是△面积的9倍，，请直接写出线段的长.
图1图2备用图
5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AB边上的一点，且tanB=，点D为AC边上的动点（不与点A，C重合），将线段OD绕点O顺时针旋转90°，交BC于点E.
如图1，若O为AB边中点，D为AC边中点，则的值为；
（2）若O为AB边中点，D不是AC边的中点，
①请根据题意将图2补全；
②小军通过观察、实验，提出猜想：
点D在AC边上运动的过程中，
（1）中的值不变.小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求的值的几种想法：
想法1：
过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求的值，需证明△OEF∽△ODA.
想法2：
分别取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，要求的值，需证明△OGE∽△OHD.
想法3：
连接OC，DE，要求的值，需证C，D，O，E四点共圆.
......
请你参考上面的想法，帮助小军写出求的值的过程（一种方法即可）；
（3）若（n≥2且n为正整数），则的值为（用含n的式子表示）.
图2
图1
6．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．
（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点
分别为点D，A，E，连接CE．
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．
（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
小慧的作法是：
以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．
请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．
并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．
7．在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM=60°，交∠ACG的平分线于点M.
（1）如图
（1），当点E在BC边的中点位置时,通过测量AE，EM的长度，猜想AE与EM满足的数量关系是；
（2）如图
（2），小晏通过观察、实验，提出猜想：
当点E在BC边的任意位置时，始终有AE=EM.小晏把这个猜想与同学进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：
在BA上取一点H使AH=CE，连接EH，要证AE=EM，只需证△AHE≌△ECM.
想法2：
找点A关于直线BC的对称点F，连接AF，CF，EF.（易证∠BCF+∠BCA+ACM=180°，所以M，C，F三点在同一直线上）要证AE=EM，只需证ΔMEF为等腰三角形.
想法3：
将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF，连接CF，EF，要证AE=EM，只需证四边形MCFE为平行四边形.
请你参考上面的想法，帮助小晏证明AE=EM.（一种方法即可）
8.已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点P是AC的中点.
（1）当∠A=30°且点M、N分别在线段AB、BC上时，∠MPN=90°，请在图1中将图形补充完整，并且直接写出PM与PN的比值；
（2）当∠A=23°且点M、N分别在线段AB、BC的延长线上时，
（1）中的其他条件不变，请写出PM与PN比值的思路.
图2
图1
9．在等边△ABC中，E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），∠AEF=60°，EF交△ABC外角平分线CD于点F.
（1）如图1，当点E是BC的中点时，请你补全图形，直接写出的值，并判断AE与EF的数量关系；
（2）当点E不是BC的中点时，请你在图
（2）中补全图形，判断此时AE与EF的数量关系，并证明你的结论.
图1图2
10．在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°．
（1）如图1，若AB=5，求BC的长；
（2）点D是BC边上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，
得到线段AE．
①如图2，当点E在AC边上时，求证：
CE=2BD；
②如图3，当点E在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．
图3
图2
图1
11.已知：
△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10,点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边CA，CB交于点E，F.
（1）若点D是AB的中点，
①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
②如图2,连结EF，若EF∥AB,求线段EF的长;
③请写出求线段EF长度最小值的思路.
（2）如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是_________.
12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是△ABC内一动点（不包括△ABC的边界），连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE．连接CD，BE．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证：
BE=CD．
（3）延长CD交AB于F，交BE于G．
①求证：
△ACF∽△GBF；
②连接BD，DE，当△BDE为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：
BD的值．
备用图
【2017.1海淀期末】1．
（1）150，-----------------------------------------------------1分
．----------------------------------3分
（2）如图，作°，使，连接，．过点A作AD⊥于D点．
∵°，
即，
∴．
∵AB=AC，，
∴.--------------------------------4分
∴，°．
∵AD⊥，
∴°.
∴在Rt中，.
∴．∵°，
∴°.
∴°．
∴在Rt中，.
∴．--------------------------------------------------------------------------------6分
（3）．---------------------------------------------------------------7分
【2017.1西城期末】2．解：
（1）证明：
在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线．
∴CD=AB．
在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，
∴MN=AB，
∴CD=MN．
（2）答：
CN与EN的数量关系CN=EN，
CN与EN的位置关系CN⊥EN． 3分
证明：
连接EM，DN，如图．
与
（1）同理可得CD=MN，EM=DN．
在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，
∴CD⊥AB．
在△ABF中，同理可证EM⊥AF．
∴∠EMF=∠CDB=90°．
∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，
∴DN∥AF，MN∥AB．
∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．
∴∠FMN=∠BDN．
∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．
∴∠EMN=∠NDC．
∴△EMN≌△DNC．
∴CN=EN，∠1=∠2．
∵∠1+∠3+∠EMN=10°，
∴∠2+∠3+∠FMN=90°．
∴∠2+∠3+∠DNM=90°，即∠CNE=90°．
∴CN⊥EN． 5分
（3）EN的最大值为，最小值为. 7分
【2017.1东城期末】3.解：
（1）OE=OF.…………1分
（2）补全图形如右图.…………2分
OE=OF仍然成立.…………3分
证明：
延长EO交CF于点G.
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF.
∴∠EAO=∠GCO.
又∵点O为AC的中点，
∴AO=CO.
∵∠AOE=∠COG，
∴△AOE≌△COG.
∴OE=OF.
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