初三数学几何综合练习题集.docx

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初三数学几何综合练习题集

初三数学几何综合练习题

1．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得

到DE，连接BE.

（1）如图1，点D在BC边上.

①依题意补全图1；

②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；

（2）如图2，点D在

BC边的延长线上，用等式表示线段

AB、BD、BE

之间的数量关系

（直接写出结论）

.

图1图2

2.已知：

Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时

针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线

′和线段

AA

′相交于点

D

连接

BD

．

CC

（1）当α=60°时，A’B

过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；

（2）当α=90°时，在图

2中依题意补全图形，并猜想（

1）中的结论是否仍然成立，不必证明；

（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想

（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.

A

B

C

图1图2图3

3．如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，

BE.

（1）依题意补全图1，并证明：

△BDE为等边三角形；

（2）若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点

F，连接FD、FB.将△CDE绕点D

顺时针旋转α度（0°

＜α＜360°）得到△C'DE'，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′.

①如图2，当α=30°时，连接BC'．证明：

EF=BC'

；

②如图3，点M为DC中点，点P为线段C'E'

上的任意一点，试探究：

在此旋转过程中，线段

PM长度的取值

范围？

E'

E'

A

P

A

E

D

E

F

F

D

C'

M

α

A

D

B

C

B

C'

C

BC

图1

图2图3

4．

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=80°，∠A+∠C=180°，点M是AD边上一点，把射线

BM绕

点B顺时针旋转

40°，与CD边交于点N，请你补全图形，求

MN，AM，CN的数量关系；

A

MD

A

M

DA

D

BC

图1

BC

图2

BC

图3

（2）如图2，在菱形ABCD中，点M是AD边上任意一点，把射线BM绕点B顺时针旋1ABC，与CD边

2

交于点N，连结MN，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM，CN，MN的数量关系是；

（3）如图3，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在AD，CD上，若△DMN的周长为2，则△MBN的面

积最小值为．

5.已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为边AB的中点.

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，此时

（2）中的结论是否成立？

请画出图形并给予证明.

6．△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线

BD与直线AC交于点E，连接EH．

A

D

A

E

BHC

BHC

图1图2

（1）如图1，当∠BAC为锐角时，①求证：

BE⊥AC；②求∠BEH的度数；

（2）当∠BAC为钝角时，

请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．

7．在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交

CD于点E，使∠CPE=1∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.2

（1）如果∠ACB=90°，

①如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；

②如图2，当点P不与点A重合时，求CF的值；

PE

（2）如果∠CAB=a，如图3，请直接写出CF的值.（用含a的式子表示）

PE

图1图2图3

8．在菱形

ABCD

中，

ADC

120，点

E是对角线

AC上一点，连接

DE，

DEC

50，将线段

BC

绕点

B逆时

针旋转

50

并延长得到射线

BF，交

ED的延长线于点

G．

（1）依题意补全图形；

D

D

ACAC

EE

BB

备用图

（2）求证：

EGBC；

（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：

．

9．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD,CD，其中CD交直线AP于点E．

（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；

（3）如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.

AC

A

C

P

B

P

B

图1

图2

11．在△ABC中，BAC90．

（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A'，连接A'C，A'B，A'C

与AB交于点E；

（2）将图1中的直线A'B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．

①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；

②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．

l

AAA

EE

HD

BCBFCBC

图1图2备用图

12．在菱形

ABCD中，∠ABC=60°，E

是对角线

AC上任意一点，

F

是线段

BC延长线上一点，且

CF=AE，连接

BE、EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点时，易证BE=EF.

（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（

（填“成立”或“不成立”）

1）中的结论：

_____.

（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，

予证明；若不成立，请说明理由．

（1）中的结论是否成立？

若成立，请给

图1图2图3

北京各区2015数学一模答案

1..解：

（1）①补全图形，如图1所示.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

②由题意可知AD=DE，∠ADE=90°.

∵DF⊥BC，

∴∠FDB=90°.

∴∠ADF=∠EDB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

图1

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠ABC=∠DFB=90°.

∴DB=DF.

∴△ADF≌△EDB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分

∴AF=EB.

在△ABC和△DFB中，∵AC=8，DF=3，

∴AC=82，DF=32.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

AF=AB－BF=52

即BE=52.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分

（2）2BD=BE+AB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

2.解:

（1）当

60时,BD

AA.

------------1

分

（2）补全图形如图1，

BDAA仍然成立；------------3

分

（3）猜想BD

AA仍然成立.

证明：

作AE

CC，AF

CC，垂足分别为点E,F，如图2，则AECAFC90.

图1

∵BCBC，

∴

∵

∴

BCCBCC.

ACBACB90，

ACEBCC90，AC'FBCC90.

∴ACEACF.

在△AEC和△AFC中，

AECAFC90,

ACEACF,

ACAC,

∴△AEC≌△AFC.

∴AEAF.

在△AED和△AFD中，

AECAFD90,

ADEADF,

AEAF,

∴△AED≌△AFD.

∴ADAD.

∵ABAB，

图2

∴△ABA'为等腰三角形.

∴BDAA------------7分

3．解：

（1）补全图形，如图1所示；⋯⋯1分

A

证明：

由题意可知：

射线CA垂直平分BD

∴EB=ED

又∵ED=BD

ED

B

C

∴EB=ED=BD

图1

∴△EBD是等边三角形⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

（2）①证明：

如图2：

由题意可知∠BCD=90°，BC=DC

E'

又∵点C与点F关于BD对称

E

∴四边形BCDF为正方形，

D

∴∠FDC=90°,CDFD

F

∵∠CDC'

α30

B

C'

C

图2

∴∠FDC'60

由

（1）△BDE为等边三角形

∴∠EDB∠FDC'60,ED=BD

∴∠EDF∠BDC'⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分

又∵△E'DC'是由△EDC旋转得到的

∴C'

D

CD

FD

E

∴△EDF≌△DBC'

SAS

F

D

∴EF

BC'

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4分

E'

O

M

P

C'

B图3

（1）

C

图3

（1）

②线段PM的取值范围是：

2－1≤PM≤2

2＋1；

设射线

CA

交

BD

于点

，

O

I：

如图3

（1）

（P）

当E'C'⊥DC,MP⊥E'C'，D、M、P、C共线时，PM有最小值.

E'

此时

=

=2

，

DM

=1

DPDO

∴PM=DP-DM=

2-1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分

E

F

II：

如图3

（2）

D

当点P与点E'

重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值.

C'

O

M

此时

=

DE

′=

=

DB

=2

2，

=1

DP

DE

DM

B

C

∴

PM=DP

+

=2

2+1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

DM

图3

（2）

∴线段PM的取值范围是：

2－1≤PM≤2

2＋1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

4．解：

（1）

EAMD

N

BC

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1

延长DA到点E，使AE=CN，连接BE

∵∠BAD+∠C=180°．

∴∠EAB=∠C．

又∵AB=BC，AE=CN，

∴△ABE≌△CBN．

∴∠EBA=∠CBN，BE=BN．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2∴∠EBN=∠ABC．

∵∠ABC=80°，∠MBN=40°，

∴∠EBM=∠NBM=40°．

∵BM=BM，

∴△EBM≌△NBM．

∴EM=NM．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3

∴MN=AM+CN．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4

（2）

E

AMD

N

BC

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5MN

（3）

21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.

解：

（1）AE∥BF，QE=QF，

-----------2分

（2）QE=QF，

证明：

如图

2，延长EQ交BF于D，

∵AE∥BF，

∴∠

AEQ=

，

3分

∠BDQ

在△BDQ和△AEQ中

B

QD

E

P

AEQBDQ

AQEBQD

AQBQ

∴△BDQ≌△AEQ（ASA），

∴QE=QD，∵BF⊥CP，

∴FQ是Rt△DEF斜边上的中线，

∴QE=QF=QD，

即QE=QF．

（3）

（2）中的结论仍然成立，证明：

如图3，

延长EQ、FB交于D，

∵AE∥BF，

∴∠AEQ=∠D，

在△AQE和△BQD中

-----------4分

-----------5分

F

AC

D

B

Q

AEQBDQ

AQEBQD，图3

A

PFC

E

AQBQ

∴△AQE≌△BQD（AAS），

∴QE=QD，∵BF⊥CP，

∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线，

∴QE=QF．

-----------6分

-----------7分

说明：

第三问画出图形给1分

6．

（1）①证明：

∵AH⊥BC于点H，∠ABC＝45°，

∴△ABH为等腰直角三角形，

∴AH＝BH，∠BAH＝45°，

∴△AHC绕点H逆时针旋转90°得△BHD，

由旋转性质得，△

BHD≌△AHC，

图1－1

∴∠1＝∠2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠1＋∠C＝90°，

∴∠2＋∠C＝90°，

∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分②解法一：

如图1－1，

∵∠AHB＝∠AEB＝90°，

∴A，B，H，E四点均在以AB为直径的圆上，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴∠BEH＝∠BAH＝45°．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

解法二：

如图1－2，

过点H作HF⊥HE交BE于F点，∴∠FHE＝90°，

即∠4＋∠5＝90°．

3分

A

1

又∵∠3＋∠5＝∠AHB＝90°，

D

E

∴∠3＝∠4．F

在△AHE和△BHF中，23

4

5

1

，

B

H

C

2

AH

BH，

图1－2

4

，

3

∴△AHE≌△BHF，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3分

∴EH＝FH．

∵∠FHE＝90°，∴△FHE是等腰直角三角形，

∴∠BEH＝45°．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4分

D

（2）补全图2如图；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5分

E

A

EC－ED＝2EH．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

BH

C

C

7.

（1）

①作图.⋯⋯.1分

EF

ADE（或

PDE）.⋯⋯.2分

A（P）D

GB

②过点P作PN∥AG交CG于点N，交CD于点M

，.⋯⋯.3分

∴CPM

CAB．∵∠CPE=1∠CAB，

C

2

∴∠CPE=1∠CPN．∴∠CPE=∠FPN．

E

F

2

P

N

∵PFCG，∴∠PFC=∠PFN=90°．

M

A

D

GB

∵PF=PF，∴

PFC≌PFN．∴CFFN．.⋯⋯.4分

由①得：

PME≌CMN．∴PECN．∴CF

CF

1

．.⋯⋯.5分

（2）1tan

PE

CN

2

．.⋯⋯.7分

2

8.（本小题满分7分）

（1）补全图形，如图1所示．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

F

F

G

G

D

D

ACAC

EE

BB

图1图2

（2）方法一：

证明：

连接BE，如图2．∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．

ADC120，

DCB60．

AC是菱形ABCD的对角线，

∴

1

DCB30

．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

DCA

2

EDC180

DEC

DCA100．

由菱形的对称性可知，

BECDEC50，

EBCEDC100．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分

GEB

DEC

BEC

100

．

GEB

CBE．

FBC

50，

EBG

EBC

FBC

50

．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

EBG

BEC．

在△GEB与△CBE中，

GEBCBE,

BEEB,

EBGBEC,

∴△GEB≌△CBE．

EGBC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5分

方法二：

证明：

连接BE，设BG与EC交于点H，如图3．

∵四边形ABCD是菱形，

F

∴AD∥BC．

G

ADC

120

，

D

DCB

60

．

AC是菱形ABCD的对角线，

A

C

1

E

H

∴DCA

DCB30

．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2

分

2

EDC

180

DEC

DCA100．

B

由菱形的对称性可知，

BECDEC50