动点路径长专题.doc

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动点路径长专题

一．选择题（共2小题）

1．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

2．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（共9小题）

3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为　_________　．

4．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为　_________　．

5．（2011•江西模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置，

①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′；

②点O到O′的路径是→→；

③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2；

④点O到O′的所经过的路径长为．以上命题正确的是　_________　．

6．（2013•宁德）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是　_________　．

7．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是　_________　．

8．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　_________　．

9．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是　_________　．

10．（2013•竹溪县模拟）如图：

已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是　_________　．

11．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为　_________　米．

三．解答题（共1小题）

12．（2012•义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC．

（1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为　_________　；

（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；

（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长．

《动点路径长专题》参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

二次函数综合题．719606

专题：

压轴题．

分析：

首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．

解答：

解：

如图

∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点，

∴x2﹣x﹣=x﹣2，

解得：

x=1或x=，

当x=1时，y=x﹣2=﹣1，

当x=时，y=x﹣2=﹣，

∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1），

∵抛物线对称轴方程为：

x=﹣=

作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，

连接A′B′，

则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，

∴BF=B′F，AE=A′E，

∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，

延长BB′，AA′相交于C，

∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，

∴A′B′==．

∴点P运动的总路径的长为．

故选A．

点评：

此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．

2．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

圆的综合题．719606

专题：

压轴题．

分析：

连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长．

解答：

解：

连接AC，AO，

∵AB⊥CD，

∴G为AB的中点，即AG=BG=AB，

∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，

∴OG=2，

∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：

AG==2，

∴AB=2AG=4，

又∵CG=CO+GO=4+2=6，

∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：

AC==4，

∵CF⊥AE，

∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，

当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，

∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，

在Rt△ACG中，tan∠ACG==，

∴∠ACG=30°，

∴所对圆心角的度数为60°，

∵直径AC=4，

∴的长为=π，

则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．

故选C．

点评：

此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：

坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，是解本题的关键．

二．填空题（共9小题）

3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为　　．

考点：

一次函数综合题．719606

分析：

根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标，由题意可得点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，求出的长度即可．

解答：

解：

∵AM垂直于直线BP，

∴∠BMA=90°，

∴点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，

连接ON，

∵直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，

∴OA=OB=4，

∴ON⊥AB，

∴∠ONA=90°，

∵AB==4，

∴ON=2，

∴=•2=．

故答案为：

π．

点评：

本题考查了二次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据∠BMC=90°，判断出点M的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力．

4．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为　　．

考点：

弧长的计算；全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心．719606

专题：

计算题．

分析：

如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，可得∠APO=180°﹣135°=45°，得∠AOO=90°，O′O=OA=×2=，然后利用弧长公式计算弧OA的长．

解答：

解：

如图，连OI，PI，AI，

∵△OPH的内心为I，

∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，

∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），

而PH⊥OA，即∠PHO=90°，

∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，

又∵OP=OA，OI公共，

而∠IOP=∠IOA，

∴△OPI≌△OAI，

∴∠AIO=∠PIO=135°，

所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；

过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，

在优弧AO取点P，连PA，PO，

∵∠AIO=135°，

∴∠APO=180°﹣135°=45°，

∴∠AOO=90°，而OA=2cm，

∴O′O=OA=×2=，

∴弧OA的长==（cm），

所以内心I所经过的路径长为cm．

故答案为：

cm．

点评：

本题考查了弧长的计算公式：

l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．

5．（2011•江西模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置，

①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′；

②点O到O′的路径是→→；

③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2；

④点O到O′的所经