初二数学期中压轴题.docx

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2017年10月31日429****1510的初中数学组卷

一．选择题（共2小题）

1．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（　　）

A．（）2013 B．（）2014 C．（）2013 D．（）2014

2．钓鱼岛和中国台湾属于同一地质构造，按照国际法钓鱼岛属于中国．钓鱼岛周围海域石油资源丰富，地域战略十分重要．图中A为台湾基隆，B为钓鱼岛，单位长度为38千米，那么A，B相距（　　）

A．190千米 B．266千米 C．101千米 D．950千米

二．解答题（共11小题）

3．在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：

（1）如图

（1），A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由；

（2）如图

（2），连结三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：

画出示意图并给出证明）．

4．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上的一点，BD=AD=8，∠ADC=60°，

求△ABC的面积．

6．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？

请通过计算进行说明．

7．在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．

（1）求∠DCE的度数．

（2）若∠CEF=135°，求证：

EF∥BC．

8．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？

9．有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN=30°，航行100米到达B点时，测得∠MBN=45°，你能算出A点与湖中小岛M的距离吗？

10．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？

若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元？

11．附加题：

如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以O.25cm/s的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．

12．如图，四边形ABCD，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度数．

13．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；

（1）求证：

B′E=BF；

（2）设AE=a，AB=b，BF=c，

试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

2017年10月31日429****1510的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（　　）

A．（）2013 B．（）2014 C．（）2013 D．（）2014

【分析】根据等腰直角三角形的性质结合三角形的面积公式可得出部分Sn的值，根据面积的变化即可找出变化规律“Sn=4×”，依此规律即可解决问题．

【解答】解：

观察，发现：

S1=22=4，S2==2，S3==1，S4==，…，

∴Sn==4×，

∴S2016=4×=．

故选C．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的面积、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“Sn=4×”是解题的关键．

2．钓鱼岛和中国台湾属于同一地质构造，按照国际法钓鱼岛属于中国．钓鱼岛周围海域石油资源丰富，地域战略十分重要．图中A为台湾基隆，B为钓鱼岛，单位长度为38千米，那么A，B相距（　　）

A．190千米 B．266千米 C．101千米 D．950千米

【分析】利用图中的格点可以得到直角三角形，然后利用勾股定理求得线段AB的长，然后乘以单位长度即可得到AB两点间的距离．

【解答】解：

如图：

BC⊥AC，且BC=3个单位长度，AC=4个单位长度，

由勾股定理得：

AB===5，

∴A、B两地之间的距离为5×38=190千米，

故选A．

．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解决此类题目的关键是从实际问题中整理出直角三角形模型，并利用勾股定理求解．

二．解答题（共11小题）

3．在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：

（1）如图

（1），A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由；

（2）如图

（2），连结三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：

画出示意图并给出证明）．

【分析】

（1）连接AC，再利用勾股定理列式求出AB2、BC2、AC2，然后利用勾股定理逆定理解答；

（2）类似于

（1）的图形解答．

【解答】解：

（1）如图，连接AC，

由勾股定理得，AB2=12+22=5，

BC2=12+22=5，

AC2=12+32=10，

∴AB2+BC2=AC2，AB=BC，

∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

综上所述，AB与BC的关系为：

AB⊥BC且AB=BC；

（2）∠α+∠β=45°．

证明如下：

如图，由勾股定理得，AB2=12+22=5，

BC2=12+22=5，

AC2=12+32=10，

∴AB2+BC2=AC2，

∴△ABC是直角三角形，

∵AB=BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠α+∠β=45°．

【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握网格结构以及勾股定理和逆定理是解题的关键．

4．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．

【分析】设BD=x，由CD=BC﹣BD表示出CD，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长，即可求出三角形ABC面积．

【解答】解：

如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，

设BD=x，则有CD=14﹣x，

由勾股定理得：

AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，

∴152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，

解之得：

x=9，

∴AD=12，

∴S△ABC=BC•AD=×14×12=84．

【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上的一点，BD=AD=8，∠ADC=60°，求△ABC的面积．

【分析】由在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ADC=60°，故可得出∠CAD=30°，再由直角三角形的性质求出CD的长，利用勾股定理得出AC的长，进而可得出BC的长，由三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：

∵∠C=90°，∠ADC=60°，

∴∠CAD=30°．

∵AD=8，

∴CD=AD=4，

∴AC===4，

∴BC=CD+BD=4+8=12，

∴S△ABC=AC•BC=×4×12=24．

【点评】本题考查的是勾股定理及直角三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

6．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？

请通过计算进行说明．

【分析】过C作CD⊥AB于D．根据BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，利用根据勾股定理有AB=500米．利用S△ABC=AB•CD=BC•AC得到CD=240米．再根据240米＜250米可以判断有危险．

【解答】解：

公路AB需要暂时封锁．

理由如下：

如图，过C作CD⊥AB于D．

因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，

所以根据勾股定理有AB=500米．

因为S△ABC=AB•CD=BC•AC

所以CD===240米．

由于240米＜250米，故有危险，

因此AB段公路需要暂时封锁．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．

7．在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．

（1）求∠DCE的度数．

（2）若∠CEF=135°，求证：

EF∥BC．

【分析】

（1）由图示知∠DCE=∠DCB﹣∠ECB，由∠B=30°，CD⊥AB于D，利用内角和定理，求出∠DCB的度数，又由角平分线定义得∠ECB=∠ACB，则∠DCE的度数可求；

（2）根据∠CEF+∠ECB=180°，由同旁内角互补，两直线平行可以证明EF∥BC．

【解答】解：

∵∠B=30°，CD⊥AB于D，

∴∠DCB=90°﹣∠B=60°．

∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，

∴∠ECB=∠ACB=45°，

∴∠DCE=∠DCB﹣∠ECB=60°﹣45°=15°；

（2）∵∠CEF=135°，∠ECB=∠ACB=45°，

∴∠CEF+∠ECB=180°，

∴EF∥BC．

【点评】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定，解答的关键是沟通未知角和已知角的关系．

8．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？

【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．

【解答】解：

设AE=x，则BE=25﹣x，

由勾股定理得：

在Rt△ADE中，

DE2=AD2+AE2=102+x2，

在Rt△BCE中，

CE2=BC2+BE2=152+（25﹣x）2，

由题意可知：

DE=CE，

所以：

102+x2=152+（25﹣x）2，

解得：

x=15km．（6分）

所以，E应建在距A点15km处．

【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

9．有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN=30°，航行100米到达B点时，测得∠MBN=4