初二四边形压轴题.docx

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1、如图，四边形OABC与四边形ODEF都是正方形。

（1）当正方形ODEF绕点O在平面内旋转时，AD与CF有怎样的数量和位置关系？

并证明你的结论；

（2）若OA=，正方形ODEF绕点O旋转，当点D转到直线OA上时，恰好是30°，试问：

当点D转到直线OA或直线OC上时，求AD的长。

（本小题只写出结论，不必写出过程）

解：

（1）∵四边形OABC与四边形ODEF为正方形，

∴在△AOD和    △COF中，AO=OC，∠AOD=∠COF,OD=OF,      

∴△AOD≌△COF.    

∴AD=CF．        

（2）AD⊥CF．       

 理由：

∵△AOD≌△COF，

∴∠OCF=∠OAD,   

 ∴∠APQ+∠OAD=∠CPO+∠OCF=90°.    

∴∠AQP=90°，即AD⊥CF．      

（3）当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，

（1）和

（2）中的结论依然成立．

2、如图，一次函数的图像与轴分别相交于点A、B，以AB为边作正方形ABCD。

（1）求点A、B、D的坐标；

（2）设点M在轴上，如果△ABM为等腰三角形，求点M的坐标。

（1）∵当y=0时，2x+4=0，x=-2．

∴点A（-2，0）．（1分）

∵当x=0时，y=4．

∴点B（0，4）．（1分）

过D作DH⊥x轴于H点，（1分）

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠AOB=∠AHD=90°，AB=AD．（1分）

∴∠BAO+∠ABO=∠BAO+∠DAH，

∴∠ABO=∠DAH．（1分）

∴△ABO≌△DAH．（1分）

∴DH=AO=2，AH=BO=4，

∴OH=AH-AO=2．

∴点D（2，-2）．（1分）

3、如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC边上的任意一点（可与点B或C重合），分别过B、D作AP的垂线段，垂足分别是B1、D1．猜想：

（DD1）2+（BB1）2的值，并对你的猜想加以证明．

猜想：

（DD1）2+（BB1）2的值是1；

证明如下：

在△ADD1和△ABB1中

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，

∵AD1⊥DD1，BB1⊥AB1，

∴∠DD1A=∠AB1B=90°，

∵∠DAD1+∠B1AB=∠B1AB+∠ABB1，

∴∠DAD1=∠ABB1，

∴△ADD1≌△BAB1，

∴AD1=BB1，

∵（DD1）2+（BB1）2=（DD1）2+（AD1）2=AD2=1，

∴（DD1）2+（BB1）2=1；

4、菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，且。

（1）如果=60°，求证：

AE=AF;

（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：

△AEF为等边三角形．

证明：

（1）由菱形ABCD可知：

AB=AD，∠B=∠D，

∵BE=DF，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE=AF；（4分）

（2）连接AC，

∵菱形ABCD，∠B=60°

∴△ABC为等边三角形，∠BAD=120°，（2分）

∵E是BC的中点，

∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一的性质），

∴∠BAE=30°，同理∠DAF=30°，（2分）

∴∠EAF=60°，由

（1）可知AE=AF，

∴△AEF为等边三角形（2分）．

5如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合）。

在点E作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G。

（1）由几个不同的位置，分别测量BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？

并证明你所得到的结论。

（2）连接DF，如果正方形的边长为2，设AE=，△DFG的面积为，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域。

（3）如果正方形的边长为2，FG的长为，求点C到直线DE的距离。

（1）要寻找3条线段的数量关系，往往采用作辅助线截长或补短的方法，然后找到其中的关系，本题证明三角形全等是关键．

（2）由

（1）可知DE=FG，∴△DGF的底与高可以关键勾股定理用含x的式子表示出来，所以解析式就可以表示出来．

（3）要解决本题，关键题意作出辅助线是关键，利用三角形的面积公式建立两个不同的式子是问题解决．

【解析】

（1）BF+AG=AE．

证明：

过点F作FH⊥DA，垂足为H，

∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，

∴四边形ABFH是矩形，

∴FH=AB=DA，

∵DE⊥FG，

∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA，

又∴∠DAE=∠FHG=90°，

∴△FHG≌△DAE，

∴GH=AE，即HA+AG=AE，

∵BF=HA，

∴BF+AG=AE．

（2）∵△FHG≌△DAE，

∴FG=DE=，

∵S△DGF=FG•DE，

∴y=，

∴解析式为：

y=，定义域为0＜x＜2．

（3）连接CE，作CP⊥DE于P，S△CDE=CD•AD=2，

∴S△CDE=DE•CP=2，

∵DE=FG=，

∴•CP=2，

∴CP=，

∴点C到直线DE的距离为．