初中数学奥数决赛试题初三.docx
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2013年初中数学奥数决赛试题
初三年级
一、选择题（本大题共5个小题，每小题6分，满分30分。
）
以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的。
请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
1．方程的解的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．无穷多个
2.a是正整数，下列哪个数一定不是正整数的平方？
（）
A.3a2－3a+3B.4a2+4a+4C.5a2－5a－5D.7a2－7a+7
第（3）题
3.如图，一个半径为的圆形纸片在边长为（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）．
A. B.
C.D.
4．设0＜k＜1，关于x的一次函数，当1≤x≤2时的最大值是（）
A.kB.C.D.
5．设a，b是正整数，满足a＋b＞ab，给出以下四个结论：
①a，b都不等于1；②a，b都不等于2；③a，b都大于1；④a，b至少有一个等于1．其中正确的结论是（）
A.①②B.②③C.③D.④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题6分，满分30分）
1.将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作（见下图）.按上边规则，完成2013次操作以后，再剪去所得小正方形的左下角.问:
当展开这张正方形纸片后，一共有个小孔.
2．已知：
a≤2，那么7－3a的取值范围是
3.方程＋…＋＝的解是.
4.一次函数的图象经过点，，则的值为.
5.设实数a，b满足不等式＜，则ab的符号为．
三、解答题（共5个小题，满分40分）
1.（6分）已知，（x2+y2）2=x2+y2+12,求x2+y2的值。
2.（7分）已知：
在梯形ABCD中，AB∥CD，O是AC和BD的交点，OE∥AB交BC于有E
求证：
3.（8分）已知y=，求y的最大值．
4.（9分）已知：
△ABC中，D，E分别在BC，AC上，∠B＝∠1＝∠2，如果△ABC，△ADC，△EBD的周长依次为x,y,z。
求证：
5．（10分）若x为整数，在使x2＋x＋4为完全平方数的所有x的值中，设其最大值为a，最小值为b，次小值为c．
（1）求a、b、c的值；
（2）对a、b、c进行如下操作：
任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，加上剩下的一个数，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，得到2012，2013，2014？
证明你的结论．
2013年初中数学奥数决赛试题
初三年级参考答案
一、选择题（本大题共5个小题，每小题6分，满分30分。
）
1.D
分析：
这道题我们用整体的思想解决。
将x-2013看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。
2.B
分析：
（A）3a2－3a+3＝3[a（a－1）+1]只要a（a－1）+1＝3，即连续数a（a－1）＝2
这是可能的，a=2时（A）的值是32
用同样方法可求得（C），（D）的值可以是52，72
故选（B）
当然也可直接推出（B）一定不是正整数的平方，
∵在4[a（a+1）+1]中，连续整数的积a（a+1）≠3（连续正整数的积的个位数只能是0，2，6）
3.C．
解:
如图，当圆形纸片运动到与的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心作两边的垂线，垂足分别为D，E，连，则Rt△中，，，．
A
E
D
∴．有．
∵由题意，，得，
∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为．
4．答案：
A
解：
，∵0＜k＜1，∴＜0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为．
5．答案：
D
解：
由a＋b＞ab，得（a－1）（b－1）<1.因为a，b是正整数，所以（a－1）（b－1）＝0，故a和b中至少有一个为1．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题6分，满分30分）
1.42012
解：
通过操作可以知道：
按规则完成一次操作，展开后的正方形纸片上共有40=1个小孔；
按规则完成两次，展开后的正方形共有41=4个小孔；
按规则3次操作，展开后的正方形纸片上共有42=16个小孔；
第4次后为：
43个小孔；
根据这个规律，容易得到原题展开正方形纸片后，第2013次有：
42012个小孔，
2.7－3a≥1
解：
①∵a≤2，
∴两边乘以－3，得－3a≥－6
两边加上7，得7－3a≥7－6
∴7－3a≥1
3..
解：
∵＝－，＝－,…，
＝－
∴原方程可化为：
＋－＋－＋…＋－＝
即：
＝，解得：
x＝，
4.13-6
解：
可求得.
原式=
5.ab<0
解：
∵不等式两边都是非负数，∴两边平方不等号方向不变
两边平方得，a2－2（a+b）+（a+b）2化简，得（a+b）>a，可知a≠0，a+b≠0
两边除以得，a+b>
显然不等式要成立，只有，故a<0
由此得a+b>－，显然只有a+b>0，
又∵a<0，故b>0
∴a，b的符号是：
a<0，b>0
∴ab<0
三、解答题（共5个小题，满分40分）
1.解：
（x2+y2）2－（x2+y2）－12＝0…………………1分
（x2+y2－4）（x2+y2+3）＝0…………………3分
∴x2+y2－4=0或x2+y2+3=0…………………4分
∴x2+y2=4或x2+y2=-3,但x2+y2≥0,不合题意舍去…………………5分
∴x2+y2=4…………………6分
2.证明:
………2分
=，=………4分
+===1……5分
∴…………………6分
∴…………………7分
3.分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．
解：
=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜…………………1分
有三个分界点：
-3，1，-1．…………………2分
（1）当x≤-3时，
y=-（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=x-1，
由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．…………………4分
（2）当-3≤x≤-1时，
y=（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=5x+11，
由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．…………………5分
（3）当-1≤x≤1时，
y=（2x+6）-（x-1）-4（x+1）=-3x+3，
由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．…………………6分
（4）当x≥1时，
y=（2x+6）+（x-1）-4（x+1）=-x+1，
由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．…………………7分
综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．…………………8分
4.证明：
设BC＝a，AC＝b，AB＝c…………………1分
∵∠1＝∠2，
∴DE∥AC，
∴△ABC∽△EBD∽△DAC…………………2分
∴，即DC＝…………………4分
BD＝BC－DC＝a－=…………………6分
∴，…………………8分
∴－＋≤…………………9分
5.解：
（1）设x2＋x＋4=k2（k为非负整数），则有x2＋x＋4－k2=0，…………1分
由x为整数知其△为完全平方数，
即1－4（4－k2）=p2（p为非负整数），…………………3分
（2k＋p）（2k－p）=15，
显然：
2k＋p>2k－p,
所以或，解得p=7或p=1，…………………4分
所以，得：
x1=3，x2=－4，x3=0，x4=－1，…………………5分
所以a=3，b=－4，c=－1．…………………6分
（2）因为，…………………9分
即操作前后，这三个数的平方和不变，
而32＋（－4）2＋（－1）2≠20122＋20132＋20142．所以，对a、b、c进行若干次操作后，不能得到2012，2013，2014这三个数．…………………10分
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