初中数学一题多解题.doc
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初中数学一题多解题
例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数
方法一、
设较小的奇数为x,另外一个就是x+2
x（x+2）=323
解方程得：
x1=17,x2=-19
所以，这两个奇数分别是：
17、19，或者-17，-19
方法二、
设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x
则有：
x-323/x=2
解方程得：
x1=19,x2=-17
同样可以得出这两个奇数分别是：
17、19，或者-17，-19
方法三、
设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：
2x-1,2x+1
（2x-1）（2x+1）=323
即4x^2-1=323
x^2=81
x1=9,x2=-9
2x1-1=17,2x1+1=19
2x2-1=-19,2x2+1=-17
所以，这两个奇数分别是：
17、19，或者-17，-19
方法四、
设两个连续奇数为x-1,x+1
则有x^2-1=323
x^2=324=4*81
x1=18,x2=-18
x1-1=17,x1+1=19
x2-1=-19,x2+1=-17
所以，这两个奇数分别是：
17、19，或者-17，-19
例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？
解：
设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得
分析：
此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。
1.凑整法
解1：
，得
，得
答：
只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略）
解2：
原方程组可变形为
解之得：
2.主元法
解3：
视x、y为主元，视z为常数，解<1>、<2>
得，
解4：
视y、z为主元，视x为常数，解<1>、<2>
得
解5：
视z、x为主元，视y为常数，解<1>、<2>
得
3.“消元”法
解6：
令，则原方程组可化为
解7：
令，则原方程组可化为
解8：
令，则原方程组可化为
4.参数法
解9：
设，则
，得
，得
由<4>、<5>得
即
5.待定系数法
解10.设
则比较两边对应项系数，得
将其代入<1>中，得
附练习题
1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
（答案：
24.5吨）
2.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。
问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？
（答案：
1.05元）
平面几何
在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。
如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。
“一题多变”的常用方法有：
1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；
3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；
6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。
19、（增加题1的条件）AE平分∠BAC交BC于E，
求证：
CE：
EB=CD：
CB
20、（增加题1的条件）CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F
求证：
（1）BF·CE=BE·DF
（2）AE⊥CF
（3）设AE与CD交于Q，则FQ‖BC
21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，
求证：
CE：
BC=CF：
AC（注意本题和16题有无联系）
22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，
求证：
EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线
23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，
求证：
点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）
24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，
求证：
DF：
CF=BC：
AC
25、如图，⊙O1与⊙O2外切与点D， 内公切线DO交外公切线EF于点O，
求证：
OD是两圆半径的比例中项。
题14解答：
因为CD^2=AD·DB
AC^2=AD·AB
BC^2=BD·AB
所以1/AC^2+1/BC^2
=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）
=（AD+DB）/（AD·BD·AB）
=AB/AD·BD·AB
=1/AD·BD
=1/CD^2
15题解答：
因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-（MB-DM）=2DM
AC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB
=（AD-DB）AB
=2DM*AB
26、（在19题基础上增加一条平行线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖AB交BC于点G，
求证：
CE=BG
27、（在19题基础上增加一条平行线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖BC交AB于点G，连结EG，
求证：
四边形CEGF是菱形
28、（对19题增加一个结论）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，
求证：
CE=CF
29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，
求证：
过点D的圆O1的切线平分BC
30、（在19题中增加一个圆）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，
求证：
⊙CED平分线段AF
31、（在题1中增加一个条件）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠A=30度，
求证：
BD=AB/4
（沪科版八年级数学第117页第3题）
32、（在18题基础上增加一条直线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作∠BCE=∠BCD
P为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N
求证：
PQ/PN=QM/MN
32题证明：
作NS‖CD交直线AC与点S，
则PQ/PN=CQ/SN
又∠BCE=∠BCD
∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）
∠BCE+∠NCS=∠BCD+∠ACD
NS‖CD，∴∠NSC=∠ACD
∴∠NSC=∠NCS
∴SN=CN
∴PQ/PN=QM/MN
题33
在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，
求证：
DE·AB=AE·BE
题33证明
CB^2=BD·AB
因EB=CB
∴EB^2=BD·AB
∴EB：
BD=AB：
BE
又∠EBD=∠ABE
∴△EBD∽△ABE
∴EB：
AB=DE：
AE
∴DE·AB=AE·BE
题34
（在19题基础上增加一条垂线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于点G，
求证：
EG^2=BE·EC
证明：
延长AC、GE，设交点为H，
∴△EBG∽△EHC
∴EB：
EH=EG：
EC
∴EH·EG=BE·EC
又HG‖CD，CF=FD
∴EH=EG
∴EG^2=BE·EC
题35（在题19中增加点F）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
AE平分∠BCA交BC于点E，交CD于F，
求证：
2CF·FD=AF·EF
题36、（在题16中，减弱条件，删除∠ACB=90度这个条件）
已知，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
求证：
CE/BC=CF/AC
题37
（在题17中，删除∠ACB=90度和CD⊥AB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC）
已知，△ABC中，D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD
求证：
AE^2=AD·AB
题38
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线
求证：
PA/AD=PB/BD
题39
（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
E为BC上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F为垂足，连结DF，
求证：
△ADF∽△AEB
题40：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足
求证：
S⊙ADC：
S⊙BDC=AD：
DB
题41
已知，如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，
求∠ACB的度数。
题42
已知，CD是△ABC的AB边上的高，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，
则∠ACB一定是90度吗？
为什么？
题43：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1，
△BDC的内切圆⊙O2，
求证：
S⊙O1：
S⊙O2=AD：
DB
题44：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1的半径R1，△BDC的内切圆⊙O2的半径R2，△ABC的内切圆⊙O的半径R，求证：
R1+R2+R=CD
题45、
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD为直径的圆O2，设O1和O2在△ABC内交于P
求证：
△PAD的面积和△PBC的面积相等
题45解：
∠CAP=∠CDP=∠DBP（圆周角、弦切角）
∴Rt△APC∽Rt△BPD
∴AP·PD=BP·PC
又∠APD和∠CPB互补（∠APC+∠BPD=180度）
S△PAD=1/2·AP·PD·sin∠APD
S△PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB
∴S△PAD=S△PBD
题46（在题38的基础上变一下）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线，又CE平分∠ACB交⊙ABC与E，交AB与D， 若PA=5，PC=10，
求 CD·CE的值
题47
在题46中，求sin∠PCA
题48（由题19而变）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
AE平分∠ACB交B
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