初中平面几何知识点汇总(一).doc

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平面几何知识点汇总

（一）

知识点一相交线和平行线

1.定理与性质

对顶角的性质：

对顶角相等。

2.垂线的性质：

性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

3.平行公理：

经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

4.平行线的性质：

性质1：

两直线平行，同位角相等。

性质2：

两直线平行，内错角相等。

性质3：

两直线平行，同旁内角互补。

5.平行线的判定：

判定1：

同位角相等，两直线平行。

判定2：

内错角相等，两直线平行。

判定3：

同旁内角相等，两直线平行。

知识点二三角形

一、三角形相关概念

1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形

要点：

①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2．三角形中的三种重要线段

（1）三角形的角平分线：

三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

（2）三角形的中线：

在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．

（3）三角形的高线：

从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．

二、三角形三边关系定理

①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：

a+b>c，b+c>a，c+a>b．

②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：

a>b-c，b>a-c，c>b-a．

注意：

判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可

三、三角形的稳定性

三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．

四、三角形的内角

结论1：

三角形的内角和为180°．表示：

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

结论2：

在直角三角形中，两个锐角互余．

注意：

①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角

如：

在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）

②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．

如：

△ABC中，已知∠A：

∠B：

∠C=2：

3：

4，求∠A、∠B、∠C的度数．

五、三角形的外角

1．意义：

三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．

2．性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补

六、多边形

①多边形的对角线条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外角和为360°

知识点三全等三角形

一、全等三角形

1、“全等”的理解全等的图形必须满足：

（1）形状相同的图形；

（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；

（2）全等三角形对应角相等；

3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA）

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）

4、角平分线的性质及判定

性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：

到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

二、轴对称图形

（一）基本定义

1.轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

2.线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

3.轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

4.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

5.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

（二）性质

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2.线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

3.

（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.

（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.

4.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.

（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.

（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.

5.等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.

（三）有关判定

1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

知识点四勾股定理

1、勾股定理定义：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

勾：

直角三角形较短的直角边

股：

直角三角形较长的直角边

弦：

斜边

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：

a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股数：

满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：

若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）

*附：

常见勾股数：

3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13

3.判断直角三角形：

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：

勾三、股四、弦五）

其他方法：

（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.注意：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5.勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为的线段

6.勾股定理的证明

　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

知识点五四边形

一、基本定义

1．四边形的内角和与外角和定理：

（1）四边形的内角和等于360°；

（2）四边形的外角和等于360°.

2．多边形的内角和与外角和定理：

（1）n边形的内角和等于（n-2）180°；

（2）任意多边形的外角和等于360°.

3．平行四边形的性质：

因为ABCD是平行四边形Þ

4.平行四边形的判定：

.

5.矩形的性质：

因为ABCD是矩形Þ

6.矩形的判定：

Þ四边形ABCD是矩形.

7．菱形的性质：

因为ABCD是菱形

Þ

8．菱形的判定：

Þ四边形四边形ABCD是菱形.

9．正方形的性质：

因为ABCD是正方形

Þ

（1）

（2）（3）

10．正方形的判定：

Þ四边形ABCD是正方形.

（4）∵ABCD是矩形

又∵AD=AB

∴四边形ABCD是正方形

11．等腰梯形的性质：

因为ABCD是等腰梯形Þ

12．等腰梯形的判定：

Þ四边形ABCD是等腰梯形

（4）∵ABCD是梯形且AD∥BC

∵AC=BD

∴ABCD四边形是等腰梯形

14．三角形中位线定理：

三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.

15．梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

二定理：

中心对称的有关定理

1．关于中心对称的两个图形是全等形.

2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.

三公式：

1．S菱形=（a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长，h为c边上的高）

2．S平行四边形=ah.（a为平行四边形的边，h为a上的高）

3．S梯形=.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）

四常识：

1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：

.

2．如图：

平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.

3．梯形中常见的辅助线：

知识点六圆

1、圆的定义：

（１）在一个平面内线段ＯＡ绕它固定的一个端点Ｏ旋转一周，另一个端点Ａ随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点Ｏ叫做圆心，线段ＯＡ叫做半径。

（２）圆是所有点到定点Ｏ的距离等于定长ｒ的点的集合。

注意：

确定一个圆有２个元素，一个是圆心，一个是半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

２、和圆相关的概念：

（１）弦：

连结圆上任意两点的线段；（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）

（２）直径：

经过圆心的弦；

（３）弧：

圆上任意两点间的部分；（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）

（４）半圆：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

（５）优弧：

大于半圆的弧，用三个大写字母表示；

（６）劣弧：

小于半圆的弧，用两个大写字母表示；

（７）弓形由弦及其所对的弧组成的图形；

（８）等圆：

能够重合的两个圆；

（９）等弧：

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧；

（１０）同心圆：

圆心相同，半径不相等的两个圆；

（１１）圆心角：

定点是圆心的角；

（１２）圆周角：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角；

（１３）弦心距：

圆心到弦的距离。

注意：

（１）直径等于半径的２倍；

　　（２）同圆或等圆的半径相等；

　　（３）等弧必须是同圆或等圆中的弧；

　　（４）弧长相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧长必相等。

３、圆心角的定义及性质：

（１）圆心角的定义：

定点是圆心的角叫做圆心角。

（２）圆心角、弦、弧的有关定理：

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等