初一数学七下相交线与平行线所有知识点总结和常考题型练习题.doc

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相交线与平行线知识点

1、邻补角与对顶角：

两直线相交所成的四个角中存在两种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

图形

顶点

边的关系

大小关系

对顶角

1

2

∠1与∠2

有公共顶点

∠1的两边与∠2的两边

互为反向延长线

对顶角相等

即∠1=∠2

邻补角

4

3

∠3与∠4

有公共顶点

∠3与∠4有一条边公共，

另一边互为反向延长线。

邻补角互补

∠3+∠4=180°

注意点：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

⑵如果∠α与∠β是对顶角，则一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，则∠α与∠β不一定是对顶角.

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.

⑷两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

⑸两线四角：

经过一点画m条直线，共有m（m-1）对对顶角，共有2m（m-1）对邻补角。

2、垂线定义:

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：

如图所示：

AB⊥CD，垂足为O.

垂直定义有以下两层含义：

（1）∵∠AOC=90°（已知），∴AB⊥CD（垂直的定义）．

（2）∵AB⊥CD（已知），∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．

3、垂线性质:

性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：

垂线段最短。

4、垂线的画法：

过直线外一点画已知直线的垂线：

以点P为圆心,任意长为半径,画弧,交直线于两点（如图）,分别以这两点为圆心,大于两点间距离的1/2长为半径,画弧,两弧交与一点.连接p与该点,并延长与直线相交即可.

5、垂线段的概念：

由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。

6、点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

7、正确理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近又相异的概念：

⑴垂线与垂线段区别：

垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。

⑵两点间距离与点到直线的距离区别：

两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

⑶线段与距离：

距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

8、平行线的概念：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。

9、两条直线的位置关系：

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

⑴相交；⑵平行。

10、平行公理：

（平行线的存在性与唯一性）：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

11、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

如图所示，∵∥，∥∴∥

12、三线八角：

两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

如图，直线被直线所截：

①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做同位角（位置相同）

②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）

③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。

④三线八角也可以从模型中看出。

同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。

13、两直线平行的判定方法:

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：

同位角相等，两直线平行

②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称：

内错角相等，两直线平行

③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：

同旁内角互补，两直线平行

几何符号语言：

∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

14、平行线的性质：

两条直线被第三条直线所截，

性质1：

两直线平行，同位角相等；几何符号语言：

∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

性质2：

两直线平行，内错角相等；∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

性质3：

两直线平行，同旁内角互补。

∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

15、平行线的性质与判定的区别和联系：

平行线的性质与判定是互逆的关系:

两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补。

16、两条平行线的距离：

如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。

注意：

直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。

17、命题：

①命题的概念：

判断一件事情的语句，叫做命题。

每个命题都是题设、结论两部分组成。

命题常写成“如果…那么…”的形式。

用“如果”开始的部分是题设，题设是已知事项；

用“那么”开始的部分是结论，结论是由已知事项推出的事项。

②真命题：

如果题设成立，那么结论一定成立的命题；③假命题：

如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题。

18、定理：

经过推理证实得到的真命题叫做定理.

19、平移变换：

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。

20、平移的特征：

①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

相交线与平行线练习

一、选择题

1.下列正确说法的个数是（）

①任意两个同位角相等②任意两个对顶角相等

③等角的补角相等④两直线平行，同旁内角相等

A.1，B.2，C.3，D.4

2.下列说法正确的是（）

A.两点之间，直线最短；

B.过一点有一条直线平行于已知直线；

C.和已知直线垂直的直线有且只有一条；

D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.

3.下列图中∠1和∠2是同位角的是（）

A.⑴、⑵、⑶，B.⑵、⑶、⑷，C.⑶、⑷、⑸，D.⑴、⑵、⑸

4.如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（）

A.30° B.60° C.90° D.120°

5.两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线（）

A.互相重合 B.互相平行C.互相垂直 D.无法确定

6.在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

下列图案中，不能由一个图形通过旋转而构成的是（）

A

B

C

D

7.三条直线相交于一点，构成的对顶角共有（）

A、3对B、4对C、5对D、6对

8.如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有（）

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

9.如图6，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长为（）。

A、30B、36C、42D、18

10.如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（）度．

A．70 B．65 C．60 D．55

二、填空题

1.一个角与它的补角之差是20º，则这个角的大小是.

2.时钟指向3时30分时，这时时针与分针所成的锐角是.

3.如图②，∠1=82º，∠2=98º，∠3=80º，则∠4=度.

4.如图③，直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28º，则∠BOE=度，∠AOG=度.

5.如图④，AB∥CD，∠BAE=120º，∠DCE=30º，则∠AEC=度.

6.把一张长方形纸条按图⑤中，那样折叠后，若得到∠AOB′=70º，则∠OGC=.

7.如图⑦，正方形ABCD中，M在DC上，且BM=10，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为.

8.如图所示，当半径为30cm的转动轮转过的角度为120°时，则传送带上的物体A平移的距离为cm。

9.如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠C＝27°则∠E的度数为__________.

10.如图10，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝60cm，AB=100cm，a、b、c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行.若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是_．

三、解答题

1.如图，直线a、b被直线c所截，且a//b，若∠1=118°，求∠2为多少度?

2.已知一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°，求这个角的度数等于多少？

4.如图,已知∠1+∠2+180°,∠DEF=∠A,试判断∠ACB与∠DEB的大小关系,并对结论进行说明.

4.如图，在△ABC中（BC>AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E。

（1）若∠EDA=40°，∠BCD=2∠ACD，求∠CDB的度数。

（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：

线段CP可能是△CFG的高线还是中线？

或两者都有可能？

请说明理由

5.如图（a）示,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地示意图,经过多年开垦荒地,现已变成图（b）所示的形状,但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图（b）中折线CDE）还保留着.张大爷想过E点修一条直路,直路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多,右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.请你用有关知识,按张大爷的要求设计出修路方案.（不计分界小路与直路的占地面积）

（1）写出设计方案,并在图中画出相应的图形;

（2）说明方案设计理由.

（a）（b）