分式运算典型例题精解.doc

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分式性质及运算

【基础精讲】

一、分式的概念

1、正确理解分式的概念：

【例1】有理式

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；（6）中，属于整式的有：

；属于分式的有：

。

.

2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.

（1）例如，当x为时，分式有意义．

错解：

时原分式有意义．

（2）不要随意用“或”与“且”。

例如当x____时，分式有意义？

错解：

由分母，得

3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．

当时，分式有意义．当时，分式无意义．当时，分式值为0．

二、分式的基本性质：

1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

（1）分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：

①分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式．

②在分式的基本性质中，M≠0．

③分子、分母必须“同时”乘以M（M≠0），不要只乘分子（或分母）．

④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。

但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．

（2）注意：

①根据分式的基本性质有：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．

②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以（或除以）同一个不等于零的整式,而不能同时加上（或减去）同一个整式

【例3】下列变形正确的是（）．

A．;B．C．D．

【例4】如果把分式中的都扩大3倍,那么分式的值一定（）．

A.扩大3倍B.扩大9倍C.扩大6倍D.不变

2、约分

约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.

【例5】

（1）化简的结果为（）A． B．C． D．

（2）化简的结果（）A．B．C．D．

（3）化简的结果是（）A．B． C．D．

3、通分

通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：

（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;

三、分式的运算

1、分式运算时注意：

（1）注意运算顺序．例如，计算，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：

原式

（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算，出现了这样的解题错误：

原式=．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；

（3）忽视“分数线具有括号的作用”:

分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略．

（4）最后的运算结果应化为最简分式．

2、分式的乘除

注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.

（1）先把除法变为乘法；

（2）接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；

（3）再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；

（4）最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．

3、加减的加减

1）同分母分式加减法则：

分母不变，分子相加减。

2）异分母分式加减法则：

运算步骤：

①先确定最简公分母；②对每项通分,化为分母相同；③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简．

4、分式的混合运算

注意分式的混合运算的顺序：

先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.

【例6】计算：

（1）；

（2）；

（3）（4）已知，则代数式的值

【分类解析】

一、分式运算的几种技巧

1、先约分后通分技巧例1计算+

分析：

不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算

解：

原式=+=+=

2、分离整数技巧例2计算--

分析：

两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。

解：

原式=--

=1+-1--

=--

===-

3、裂项相消技巧例3计算++

分析：

此类题可利用=（-）裂项相消计算。

解：

原式=（-）+（-）+（-）

=-=

4、分组计算技巧例4计算+--

分析：

通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取分组计算简捷。

解：

原式=（-）+（-）

=+=

5、变形技巧例5已知x2-3x+1=0，求x2+的值。

分析：

将已知两边同除以x（x≠0）可变出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。

解：

由x2-3x+1=0，两边同除以x（x≠0），得

x-3+=0，即x+=3

所以x2+=（x+）2-2=32-2=7

二、分式求值中的整体思想

例1若分式的值为，则的值为（）

A、1B、-1C、-D、

解：

由已知=得2y2+3y+7=8

2y2+3y=1，4y2+6y=2所以==1，故选A。

例2已知+=4，则=。

分析：

由已知可得到a+b与ab的关系式，所求式通过分解因式可得到用a+b与ab的表达式，然后将a+b用ab代换即可求出所求式的值。

解：

由已知得=4∴a+b=4ab

===-

点评：

本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到

=

然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。

例3已知a2-3a+1=0，求的值。

解：

由已知a2-3a+1=0知a≠0，将已知等式两边同除以a得a-3+=0，∴a+=3

所以=a2+=（a+）2-2=32-2=7∴=

点评：

①所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。

②a2±=（a±）22这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。

例4已知+=，+=，+=，求的值。

分析：

将所求式分子、分母同除以abc可得到，只要将已知式变换出++即可。

解：

因为+=①，+=②，+=③，将①、②、③左、右分别相加，得

2（++）=++

∴++=　　所以==

例5有一道题：

“先化简再求值：

，其中”，小明做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？

解析:

首先对原分式进行化简,再根据化简结果说理.

.

因为当和时,的值都是2009,所以小明把“”错抄成了“”,计算结果也是正确的.

例6已知x2-3x+1=0，求x2+的值。

分析：

将已知两边同除以x（x≠0）可变出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。

解：

由x2-3x+1=0，两边同除以x（x≠0），得

x-3+=0，即x+=3所以x2+=（x+）2-2=32-2=7

三、分式运算新型题

例2请利用、和这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分式的商减去第三个分式的差,并化简.

解析:

本题为开放性问题,答案不唯一.按题目的要求可得到10多个不同的算式,选取其中一个进行化简即可,但一般应选择一个计算较简便的算式,以减少运算量,提高正确率.

如,÷-=

==,等等.

温馨提示:

这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养,已成为各类考试的热点,但所考查的知识却是我们所熟悉的.

例3先化简代数式÷,然后选取一个合适的值,代入求值.

解析:

本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”,解题时必须明确“合适”在题中的含义,即选取的的值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便.

原式==.

由题意知,的值不能取2和-2,所以当=0时,原式=4.

温馨提示:

本题既检测了同学们分析问题的能力,又考查了识别隐含信息的能力,题目的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识.这类题目也是近年出现的热点题型,为我们提供了较为广阔的思考空间,但所选字母的值应保证原式有意义,以防掉入解题“陷阱”.

一、开放性问题

例1在下列三个不为零的式子中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是，把这个分式化简所得的结果是.

分析：

此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人性化与趣味化.

解：

本题存在6种不同的结果，任选其一即可.

（1）；

（2）;

（3）；（4）;

（5）;（6）.

说明：

其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我们面前.

二、探索运算程序

例2任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（）

平方-÷+2结果

A．B．C．+1D．-1

分析：

本题设计新颖，意在创新，明确计算程序是正确解答本题的前提.

解：

计算程序可表示为：

，化简：

原式==m-1+2=m+1，故选C.

说明：

这是一道比较容易的题，但要注意其运算的顺序，否则就会出现错误的答案.

三、自选数值求解

例3化简，并选择你最喜欢的数代入求值．

分析：

这是近年来出现的一种新题型，具有一定的灵活性。

此题从难度上来说并不大，但是要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式.在选取x的数值时，一定要保证原式有意义，而且尽量使运算简便为好.

解：

原式，当x=2时，原式=-2.

说明：

这里的x不能取0与1，否则分母的值为0，原式就没有意义了.

四、运算说理题

例4在解题目：

“当时，求代数式的值”时，聪聪认为只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？

请说明理由．

分析：

本题是说理型试题，有很强的创新性，但将其转化为代数式的化简与求值，解决问题就很方便，同时要注意说的“理由”要充分合理.

解：

聪聪说的有理．

∴只要使原式有意义，无论取何值，原式的值都相同，为常数1．

说明：

解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.

先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．

┅┅

（1）计算．

（2）探究．（用含有的式子表示）

（3）若的值为，求的值．

解：

（1）

（2）

（3）

=+┄+

==

由=解得

经检验是方程的根，∴

【精练】计算：

【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.

【解】=

                             =

                             =

1．顺次相加法例1：

计算：

【分析】本题的解法与例1完全一样.

【解】=

                             =

                             =

2．整体通分法【例2】计算：

【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分