分式全章教案.doc
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第17章 分 式 2
§17.1分式及其基本性质 4
1.分式的概念 4
2.分式的基本性质 5
§17.2分式的运算 7
1.分式的乘除法 7
2.分式的加减法 8
阅读材料 10
§17.3可化为一元一次方程的分式方程 11
§17.4零指数幂与负整指数幂 13
1.零指数幂与负整指数幂 13
2.科学记数法 15
小 结 16
复习题 16
第17章 分 式
现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。
如果设原来每天能装配x台机器，那么不难列出方程：
这个方程左边的式子已不再是整式，这就涉及到分式与分式方程的问题.
§17.1分式及其基本性质
1.分式的概念
做一做
（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米；
（2）面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为________米；
（3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是______元；
形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子，叫做分式（fraction）.其中 A叫做分式的分子（numerator）,B叫做分式的分母（denominator）.
整式和分式统称有理式（rationalexpression）,即有
有理式 整式，分式.
例1下列各有理式中，哪些是整式？
哪些是分式？
（1）；
（2）；（3）；（4）.
解：
属于整式的有：
（2）、（4）；属于分式的有：
（1）、（3）.
注意：
在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式中，a≠0；在分式中，m≠n.
例2当取什么值时，下列分式有意义？
（1）；
（2）.
分析要使分式有意义，必须且只须分母不等于零.
解
（1）分母≠0，即≠1.
所以，当≠1时，分式有意义.
（2）分母2≠0，即≠-.
所以，当≠-时，分式有意义.
2.分式的基本性质
在进行分数的化简与运算时，常要进行约分和通分，其主要依据是分数的基本性质.类似地，分式有如下基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.
例3 约分
（1）；
（2）
分析分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出分子与分母的公因式.
解
（1）＝－＝－.
（2）＝＝.
约分后，分子与分母不再有公因式.分子与分母没有公因式称为最简分式.
例4 通分
（1），；
（2），；
（3），.
分析 分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.例如第
（1）小题中的两个分式和，它们的最简公分母是a2b2.
解
（1）与的最简公分母为a2b2，所以
＝＝，
＝＝.
（2）与的最简公分母为（x-y）（x+y），即x2－y2，所以
＝＝，
＝＝.
（3）因为 x2－y2＝________________,
x2＋xy＝________________,
所以与的最简公分母为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，因此
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
练 习
1.约分：
（1）；
（2）； （3）； （4）.
2.通分：
（1），；
（2），.
3.军训期间，小华打靶的成绩是m发9环和n发7环，请问，小华的平均成绩是每发多少环？
习题17.1
1.用分式填空：
（1）小明t小时走了s千米的路，则他走这段路的平均速度是＿＿＿＿千米/时；
（2）一货车送货上山，上山速度为x千米/时，下山速度为y千米/时，则该货车的平均速度为＿＿＿＿千米/时.
2.指出下列有理式中，哪些是分式？
， （x+y）， ， ， ，
3.当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）；
（2）； （3）；（4）.
4.通分：
（1）、、；
（2），.
5.某机械厂欲成批生产某种零件，第一道工序需要将一批长l厘米、底面半径为2r厘米的圆钢锻造成底面半径为r 厘米的圆钢.请问锻造后的圆钢长多少厘米？
§17.2分式的运算
1.分式的乘除法
试一试
计算：
（1）；
（2）.
解
（1）==.
（2）==.
概括
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
例1计算：
（1）；
（2）.
解
（1）==.
（2）==.
例2计算：
.
解 原式＝＝.
思 考
怎样进行分式的乘方呢？
试计算：
（1）（）3
（2）（）k（k是正整数）
（1）（）3=＝＝________；
（2）（）k=＝＝___________.
仔细观察所得的结果，试总结出分式乘方的法则.
练 习
1.计算：
（1）；
（2）； （3）； （4）.
2.计算：
（1）（）2 ；
（2）（）3
3.上海到北京的航线全程s千米，飞行时间需a小时；铁路全长为航线长的m倍，乘车时间需b小时.飞机的速度是火车速度的多少倍？
（用含a、b、s、m的分式表示）
2.分式的加减法
试一试
计算：
（1）；
（2）.
解
（1）=
（2）==
概括
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.
例3计算：
.
解－
＝
＝
＝＝4.
例4计算：
.
分析这里两个加项的分母不同，要先通分.为此，先找出它们的最简公分母.注意到=,所以最简公分母是.
解
＝
＝
＝
＝
＝
＝.
练 习
1.计算：
（1）；
（2）； （3）； （4）.
2.计算：
（1）；
（2）；
（3）； （4）.
习题17.2
1.计算：
（1）；
（2）；
（3）； （4）.
2.计算：
（1）；
（2）；
（3）； （4）.
3.计算：
（1）；
（2）.
4.林林家距离学校a千米，骑自行车需要b分钟，若某一天林林从家出发迟了c分钟，则她每分钟应多骑多少千米，才能使到达学校的时间和往常一样？
5.周末，小颖跟妈妈到水果批发市场去买苹果.那儿有两种苹果，甲种苹果每箱重m千克，售a元；乙种苹果每箱重n千克，售b元.请问，甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍？
阅读材料
历史上的分数运算法则
（1）最早的分数运算法则
我们伟大的祖国，作为世界四大文明古国之一，在世界数学发展的历史长河中，曾作出过许多杰出的贡献，远远走在世界的前列.许多光辉的成就，在世界数学史上享有崇高的荣誉.分数运算法则的出现就是我们引以为荣的成就。
早在西汉时期，张苍、耿寿昌等学者在整理、删补自秦代以来的数学知识的基础上，编成了数学的经典――《九章算术》.后来，魏晋时代伟大的数学家刘徽对此书作了注解，于魏景元四年（263）年写成了《九章算术注》.在《九章算术》的《方田》章中，提出了完整的分数运算法则，讲到了约分、合分（分数的加法）、减分（分数的减法）、乘分（分数的乘法）、经分（分数的除法）的法则，这些与我们现在的分数运算法则完全相同.另外，还记载了课分（比较分数大小）、平分（求分数的平均值）等关于分数的知识，是世界上最早的系统传述分数的著作.
分数运算，大约15世纪才在欧洲流行.欧洲人普遍认为，这种算法起源于印度.实际上，印度到7世纪婆罗门笈多的著作中才开始出现分数的运算法则，即使与刘徽的时代相比，印度也要比我国迟400年左右.
（2）中国最早的约分
《九章算术》中的算法是在假设读者已具备了正整数四则运算方法的基础上展开的.《方田》一章中讲述了分数运算，“约分术”是第一个算法，其述文是：
“可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”
意思是：
分母、分子若都是偶数，先同被2除；若不都是偶数，则用“更相减损术”求其“等数”（即最大公约数）.再用最大公约数去同除分母与分子.
所谓“更相减损”，就是辗转相减.例如，求91与49的“等数”方法是：
（连减5次）
（等数）
于是有
.
如果我们注意到，那时的计算是用算筹进行的，那么上述求等数的更相减损法，用起来是很方便的：
只要从多的一边筹码数中将另一边较少筹码数减去，如此反复进行，直到两边所剩数相等即可，这也是“等数”名称的由来。
§17.3可化为一元一次方程的分式方程
问 题
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分 析
设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得
.
（1）
概 括
方程
（1）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
思 考
怎样解分式方程呢？
有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢？
试动手解一解方程
（1）.
方程
（1）可以解答如下：
方程两边同乘以（x+3）（x-3），约去分母，得
80（x-3）=60（x+3）.
解这个整式方程，得
x=21.
所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
概 括
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
例1 解方程：
.
解 方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得
x+1=2.
解这个整式方程，得
x=1.
解到这儿，我们能不能说x=1就是原分式方程的解（或根）呢？
细心的同学可能会发现，当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.
我们看到，在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根.如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根.
有了上面的经验，我们再来完整地解一个分式方程.
例2 解方程：
.
解 方程两边同乘以x（x-7），约去分母，得
100（x-7）=30x.
解这个整式方程，得
x=10.
检验：
把x=10代入x（x-7），得
10×（10-7）≠0
所以，x=10是原方程的解.
例3某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？
解 设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得
＝.
解得 x＝11.
经检验，x＝11是原方程的解.并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意.
答：
甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.
练 习
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