八年级数学全等三角形复习题及答案.doc
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初二数学第十一章全等三角形综合复习
切记：
“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例1.如图，四点共线，，，，。
求证：
。
例2.如图，在中，是∠ABC的平分线，，垂足为。
求证：
。
例3.如图，在中，，。
为延长线上一点，点在上，，连接和。
求证：
。
例4.如图，//，//，求证：
。
例5.如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。
求证：
为的平分线。
例6.如图，是的边上的点，且，，是的中线。
求证：
。
例7.如图，在中，，，为上任意一点。
求证：
。
同步练习
一、选择题：
1.能使两个直角三角形全等的条件是（）
A.两直角边对应相等 B.一锐角对应相等
C.两锐角对应相等 D.斜边相等
2.根据下列条件，能画出唯一的是（）
A.，， B.，，
C.，， D.，
3.如图，已知，，增加下列条件：
①；②；③；④。
其中能使的条件有（）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.如图，，，交于点，下列不正确的是（）
A. B.
C.不全等于 D.是等腰三角形
5.如图，已知，，，则等于（）
A. B. C. D.无法确定
二、填空题：
6.如图，在中，，的平分线交于点，且，，则点到的距离等于__________；
7.如图，已知，，是上的两点，且，若，，则____________；
8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为_________；
9.如图，在等腰中，，，平分交于，于，若，则的周长等于____________；
10.如图，点在同一条直线上，//，//，且，若，，则___________；
三、解答题：
11.如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。
求的度数。
12.如图，，，为上一点，，，交延长线于点。
求证：
。
答案
例1.思路分析：
从结论入手，全等条件只有；由两边同时减去得到，又得到一个全等条件。
还缺少一个全等条件，可以是，也可以是。
由条件，可得，再加上，，可以证明，从而得到。
解答过程：
，
在与中
∴（HL）
，即
在与中
（SAS）
解题后的思考：
本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：
一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。
再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。
小结：
本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。
例2.思路分析：
直接证明比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明且。
也可以看成将“转移”到。
那么在哪里呢？
角的对称性提示我们将延长交于，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。
解答过程：
延长交于
在与中
（ASA
又。
解题后的思考：
由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。
例3.思路分析：
可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。
以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置，而线段正好是的边，故只要证明它们全等即可。
解答过程：
，为延长线上一点
在与中
（SAS）
。
解题后的思考：
利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。
小结：
利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。
这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。
例4.思路分析：
关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。
解答过程：
连接
//，//
，
在与中
（ASA）
。
解题后的思考：
连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。
例5.思路分析：
要证明“为的平分线”，可以利用点到的距离相等来证明，故应过点向作垂线；另一方面，为了利用已知条件“分别是和的平分线”，也需要作出点到两外角两边的距离。
解答过程：
过作于，于，于
平分，于，于
平分，于，于
，
，且于，于
为的平分线。
解题后的思考：
题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。
例6.思路分析：
要证明“”，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等于。
因此，延长至，使。
解答过程：
延长至点，使，连接
在与中
（SAS）
，
又
，
在与中
（SAS）
又
。
解题后的思考：
三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。
例7.思路分析：
欲证，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。
由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段。
而构造可以采用“截长”和“补短”两种方法。
解答过程：
法一：
在上截取，连接
在与中
（SAS）
在中，
，即AB－AC>PB－PC。
法二：
延长至，使，连接
在与中
（SAS）
在中，
。
解题后的思考：
当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。
具体作法是：
在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。
小结：
本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。
我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。
同步练习的答案
一、选择题：
1.A 2.C 3.B 4.C 5.C
二、填空题：
6.4 7. 8. 9.10 10.6
三、解答题：
11.解：
为等边三角形
，
在与中
（SAS）
。
12.证明：
，
在与中
（AAS）
。
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