(1)当t为何值时,四边形PCDQ为平行四边形?
(2)在P、Q移动的过程中,线段PH的长是否发生改变?
如果不变,求出线段PH的长;如果改变,请说明理由。
例4.在▱ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
例5.在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′(0°<旋转角<90°)连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M.
(1)当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想;
(2)当四边形ABCD是平行四边形时,如图2,已知AC=BD,请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想;
(3)当四边形ABCD是等腰梯形时,如图3,AD∥BC,此时
(1)AC′与BD′的数量关系是否成立?
∠AMB与α的大小关系是否成立?
不必证明,直接写出结论.
例6.在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AB,BC于点E,F,连接EF(如图①).
(1)当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合(如图②),求PC的长;
(2)探究:
将直尺从图②中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E和点A重合时停止.在这个过程中,请你观察、猜想,并解答:
①tan∠PEF的值是否发生变化?
请说明理由;
②直接写出从开始到停止,线段EF的中点经过的路线长.
【考题训练】
一、选择题
1.如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD=AB,点E、F分别为AB.AD的中点,则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为【】
A. B. C.D.
2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点,则下列结论:
①EF∥AD;②S△ABO=S△DCO;③△OGH是等腰三角形;④BG=DG;⑤EG=HF。
其中正确的个数是【】
A、1个B、2个C、3个D、4个
3.如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠C=90°,AD=5,BC=9,以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE,连接DE,则△ADE的面积等于【 】
A.10 B.11 C.12 D.13
4.已知:
在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD=3,BC=7,则梯形的面积是【】
A.25B.50C.D.
二、填空题
1.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90º,AB=7cm,BC=3cm,
AD=4cm,则CD=cm.
2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,,BE平分∠ABC且交CD于E,E为CD的中点,EF∥BC交AB于F,EG∥AB交BC于G,当,时,四边形BGEF的周长为.
3.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,AB=CD=5,∠B=60°,则下底BC的长为.
4.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,点E是BC的中点,且DE∥AB,则∠BCD的度数是
三、解答题
1.如图,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE,PE交边BC于点F,连接BE,DF.
(1)求证:
∠ADP=∠EPB;
(2)求∠CBE的度数;
2.如图,梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,ACBD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点
(1)求证:
四边形EFGH为正方形;
(2)若AD=2,BC=4,求四边形EFGH的面积。
3.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E、F、G分别在边AB、BC、CD上,且AE=GF=GC.求证:
四边形AEFG为平行四边形.
4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,分别以AB,CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF,连接AF,DE.
(1)求证:
AF=DE;
(2)若∠BAD=45°,AB=a,△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积,求BC的长.
5.如图,在直角梯形ABCD中,∠D=∠BCD=90°,∠B=60°,AB=6,AD=9,点E是CD上的一个动点(E不与D重合),过点E作EF∥AC,交AD于点F(当E运动到C时,EF与AC重合).把△DEF沿EF对折,点D的对应点是点G,设DE=x,△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y.
(1)求CD的长及∠1的度数;
(2)若点G恰好在BC上,求此时x的值;
(3)求y与x之间的函数关系式.
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