全等三角形证明基础知识梳理及证明.doc

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高坪剑桥英语一对一讲义：

第一讲

全等三角形证明基础知识梳理及证明

一、填空题

1．_____的两个图形叫做全等形.

2．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．

3．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．

图1－1图1－2图1－3

4．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．

（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____

（2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；

（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．

5．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.5cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．

6．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形

二、选择题

7．已知：

如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）

A．DB B．BC C．CD D．AD

8．下列命题中，真命题的个数是（）

①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等

③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等

A．4 B．3 C．2 D．1

9．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）

A．6 B．5 C．4 D．无法确定

图1-4图1-5图1-6

10．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）

A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC

11．如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）

A．40° B．35° C．30° D．25°

三、解答题

12．已知：

如图1－7所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．

图1－7图1－8图1－9

一、填空题

13．如图1－8，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．

14．已知：

如图1－9，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．

（1）求∠F的度数与DH的长；

（2）求证：

AB∥DE．

15．如图1－10，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你的结论．

图1－10

三角形全等的判定

（一）

一、填空题

图2－1图2－2图2－3

1．已知：

如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．

求证：

RM平分∠PRQ．

分析：

要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______，

只要证______≌______

证明：

∵M为PQ的中点（已知），

∴______＝______在△______和△______中，

∴______≌______（）．∴∠PRM＝______（______）．

即RM．

2．已知：

如图2－2，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：

∠A＝∠D．

分析：

要证∠A＝∠D，只要证______≌______．

证明：

∵BE＝CF（），∴BC＝______．

在△ABC和△DEF中，

∴______≌______（）．∴∠A＝∠D（______）．

3．如图2－3，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB，

求证：

△ABC≌△BAD．

证明：

∵CE＝DE，EA＝EB，

∴______＋______＝______＋______，即______＝______．

在△ABC和△BAD中，

∴△ABC≌△BAD（）．

4．已知：

如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：

∠CAD＝∠DBC.

图2－4

三角形全等的判定

（二）

一、填空题

1．已知：

如图3－1，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．

求证：

∠D＝∠B．

分析：

要证∠D＝∠B，只要证______≌______

证明：

在△AOD与△COB中，

∴△AOD≌△______（）．∴∠D＝∠B（______）．

2．已知：

如图3－2，AB∥CD，AB＝CD．求证：

AD∥BC．

分析：

要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，

又需证______≌______．

证明：

∵AB∥CD（），∴∠______＝∠______（），

在△______和△______中，

∴Δ______≌Δ______（）．∴∠______＝∠______（）．

∴______∥______（）．

一、解答题

3．已知：

如图3－3，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：

∠B＝∠C．

图3－3图3－4图3－5图3－6

4．已知：

如图3－4，AB＝AC，BE＝CD．求证：

∠B＝∠C．

5．已知：

如图3－5，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．

求证：

BC＝DE．

6．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．

三角形全等的条件（三）

一、填空题

1．

（1）全等三角形判定方法3——“角边角”（即______）指的是______

___________________________________________________________________________；

（2）全等三角形判定方法4——“角角边”（即______）指的是______

___________________________________________________________________________．

图4－1

2．已知：

如图4－1，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：

AM＝BN．

分析：

∵PM＝PN，∴要证AM＝BN，只要证PA＝______，

只要证______≌______．

证明：

在△______与△______中，

∴△______≌△______（）．

∴PA＝______（）．

∵PM＝PN（），

∴PM－______＝PN－______，即AM＝______．

3．已知：

如图4－2，ACBD．求证：

OA＝OB，OC＝OD．

4．

分析：

要证OA＝OB，OC＝OD，只要证______≌______．

证明：

∵AC∥BD，∴∠C＝______．

在△______与△______中，

∴______≌______（）．

∴OA＝OB，OC＝OD（）．

图4－2

二、选择题

4．能确定△ABC≌△DEF的条件是（）

A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E

B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E

C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D

D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E

5．如图4－3，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）

图4－3

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙

6．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）

A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF

三、解答题

7．阅读下题及一位同学的解答过程：

如图4－4，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？

若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．

答：

△AOD≌△COB．

证明：

在△AOD和△COB中，

图4－4

∴△AOD≌△COB（ASA）．

问：

这位同学的回答及证明过程正确吗？

为什么？

8．已知：

如图4－5，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．

求证：

AD＝AC．

图4－5

9．已知：

如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．

求证：

HN＝PM.

图4－6

10．已知：

AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE＝4．求BM、CF的长．

11．填空题

（1）已知：

如图4－7，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ______≌△______，理由为______．

（2）已知：

如图4－8，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．

图4－7图4－8

12．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．

（1）请证明AD＝A'D'；

（2）把上述结论用文字叙述出来；

（3）你还能得出其他类似的结论吗？

图4－9

13．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：

EF＝AE＋BF．

图4－10

（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．

①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．

图4－11

直角三角形全等的条件（四）

一、填空题

1．判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是_____．

2．直角三角形全等的判定方法有_____（用简写）．

3．如图5－1，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．

图5－1

4．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：

（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）

（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）

（3）一个锐角和斜边对应相等；（）

（4）两直角边对应相等；（）

（5）一条直角边和斜边对应相等．（）

二、选择题

5．下列说法正