全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法.docx
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全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法
△ABC中,AD是BC边中线
方式1：
直接倍长，（图1）：
延长AD到E，使DE=AD，连接BE
方式2：
间接倍长
1）（图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E,连接BE
2）（图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD
【经典例题】
例1已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，
则中线AD的取值范围是_________.
（提示：
画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边）
例2：
已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF.
求证：
BD=CE.（提示：
方法1：
过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF
方法2：
过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB
方法3：
过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H，证明ΔBDG≌ΔECH）
例3、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
变式：
如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F.求证：
（提示：
方法1：
在DA上截取DG=BD，连结EG、FG，证明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边
_
D
_
F
_
C
_
B
_
E
_
A
方法2：
倍长ED至H，连结CH、FH，证明FH=EF、CH=BE，利用三角形两边之和大于第三边）
_
D
_
F
_
C
_
B
_
E
_
A
例4：
已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：
AF=EF
（提示：
方法1：
倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形。
方法2：
倍长ED.试一试，怎么证明？
）
例5、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，
求证：
AD平分∠BAE.（提示：
倍长AE至M,连接DM）
变式一：
已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，
求证：
∠C=∠BAE
提示：
倍长AE至F，连结DF,证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）,进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）
变式二：
已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，
求证：
2AE＝AC。
（提示：
借鉴变式一的方法）
_
A
_
B
_
D
_
E
_
C
_
F
例6：
已知：
如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.
求证：
AE平分
提示：
方法1：
倍长AE至G，连结DG
方法2：
倍长FE至H，连结CH
_
A
_
B
_
D
_
E
_
C
_
F
【练习】
1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
提示：
延长AE、DF交于G,证明AB=GC、AF=GF，所以AB=AF+FC
2、已知：
如图，DABC中，ÐC=90°，CM^AB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：
CT=BE.
提示：
过T作TN⊥AB于N，证明ΔBTN≌ΔECD
3、在△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD于M，若AB＝AD，求证：
2AM＝AC＋AB。
4、△ABC中，AD是边BC上的中线，DA⊥AC于点A，∠BAC=120°，
求证：
AB=2BC.
5、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：
DE=2AM
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