全等三角形压轴题分类解析.doc
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七年级下三角形综合题归类
考点2：
利用角相等证明垂直
1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：
CD=BF；
（2）求证：
AD⊥CF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状.
A
B
C
D
E
F
图9
拓展巩固：
如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：
∠ADC＝∠BDE．
3.如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接，.
（1）试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和.你认为
（1）中的结论是否还成立？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
4.如图1，的边BC在直线上，且的边也
在直线上，边与边重合，且
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的
数量关系和位置关系；
（2）将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点,连接
.猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长
A
B
E
C
F
P
l
（3）
Q
线于点Q,连结,你认为
（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
l
（1）
A
B
（F）
（E）
C
P
A
B
E
C
F
P
Q
（2）
l
三、等腰三角形（中考重难点之一）
考点1：
等腰三角形性质的应用
1.两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连结，取的中点，连结．试判断的形状，并说明理由．
压轴题拓展：
（三线合一性质的应用）已知中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、．
当绕点旋转到于时（如图1），易证．当绕点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?
若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不需证明．
2.已知：
如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
（1）BF=AC
（2）CE=BF（3）CE与BC的大小关系如何。
考点2：
等腰直角三角形（45度的联想）
1.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边
经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM
的平分线BF相交于点F.
⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；
③请证明你的上述两猜想.
⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
2.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．①求证：
DG=DC②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，
（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形。
在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在
（1）中得出的结论是否发生改变．（直接写出结论，不必证明）
图2
图1
同类变式：
已知：
△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F
（1）如图
（1）当点E在BC边得中点位置时
猜想AE与EF满足的数量关系是.
连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 .
请证明你的上述猜想；
（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？
附加思考题：
以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分别是、的中点．探究：
与的位置关系及数量关系．
⑴如图①当为直角三角形时，与的位置关系是；线段与的数量关系是；
⑵将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（）后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由．
24、已知：
如图，矩形中点为延长线上一点，连接，且，点分别在上，且。
（1）若，求的长；
（2）若，求证：
。
12、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴求证：
△AMB≌△ENB；E
AD
BC
N
M
⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
28．如图甲，已知∠ABC=90°，△ABD是边长为2的等边三角形，点E为射线BC上任意一点（点E与点B不重合），连结AE，在AE的上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点G．
（1）如图乙，当BE=BA时，求证：
△ABE≌△ADF；
（2）如图甲，当△AEF与△ABD不重叠时，求∠FGC的度数；
图甲
A
C
B
D
F
G
E
图乙
A
B
D
F
E
G
C
图丙
F
G
A
C
B
D
E
（3）若将已知条件中的“在AE的上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点G．”改为“在AE的下方作等边三角形AEF，连结FD交射线BC于点G．”（如图丙所示），试问当点E在何处时BD∥EF？
并求此时△AEF的周长．
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