代数式的化简求值问题(含答案).doc

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第二讲：

代数式的化简求值问题

一、知识链接

1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。

它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。

注：

一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题

例1．若多项式的值与x无关，

求的值.

分析：

多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零

因为

所以m=4

将m=4代人，

利用“整体思想”求代数式的值

例2．x=－2时，代数式的值为8，求当x=2时，代数式的值。

分析：

因为

当x=－2时，得到，

所以

当x=2时，=

例3．当代数式的值为7时,求代数式的值.

分析：

观察两个代数式的系数

由得，利用方程同解原理，得

整体代人，

代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。

例4．已知，求的值.

分析：

解法一（整体代人）：

由得

所以：

解法二（降次）：

方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。

由，得，

所以：

解法三（降次、消元）：

（消元、、减项）

例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：

A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。

从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？

分析：

分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）

第一年：

A公司10000；B公司5000+5050=10050

第二年：

A公司10200；B公司5100+5150=10250

第n年：

A公司10000+200（n－1）；

B公司：

[5000+100（n－1）]+[5000+100（n－1）+50]

=10050+200（n－1）

由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。

例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，

则的值是_______。

解：

因为abc<0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数

又因为a+b+c>0，所以a、b、c中只有一个是负数。

不妨设a<0，b>0，c>0

则ab<0，ac<0，bc>0

所以x=－1+1+1－1－1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。

同理，当b<0，c<0时，x=0。

另：

观察代数式，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。

有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。

规律探索问题：

1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

6

12

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

（1）“17”在射线____上，

“2008”在射线___________上．

（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的

代数式表示为__________________________．

分析：

OA上排列的数为：

1，7，13，19，…

观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，

归纳得到，这列数可以表示为6n－5

因为17=3×6－1，所以17在射线OE上。

因为2008=334×6+4=335×6－2，所以2008在射线OD上

例8．将正奇数按下表排成5列:

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行1357

第二行1513119

第三行17192123

第四行31292725

根据上面规律，2007应在

A．125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列

分析：

观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找

第三列数：

3，11，19，27，规律为8n－5

因为2007=250×8+7=251×8－1

所以，2007应该出现在第一列或第五列

又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，

所以2007应该在第251行第5列

例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：

①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：

26

13

44

11

第一次

F②

第二次

F①

第三次

F②

…

若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．

分析：

问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。

449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169，

169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1，

1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1，

我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。

再看运算的次数是449，奇数次。

因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，

所以，结果是8。

三、小结

用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。

希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。

体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。

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