人教版初中数学第五章相交线与平行线知识点.docx
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第五章相交线与平行线
5.1相交线
5.1.1相交线
邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
4
3
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
注意点：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
例：
如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角．
错解：
如图，对顶角为：
（1）∠AOC与∠BOD；
（2）∠AOF与∠BOD；
（3）∠COF与∠DOE；
（4）∠AOC与∠BOE．
错解分析：
错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致
（2）和（4）错误．如果对对顶角的概念没有真正理解和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误．对顶角就是：
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．
正解：
（1）∠AOC与∠BOD；
（2）∠BOE与∠AOF；（3）∠COF与∠DOE；
（4）∠COE与∠DOF．（答案不唯一：
∠AOE与∠BOF，∠BOC与∠AOD也是对顶角）
5.1.2垂线
1、定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
A
B
C
D
O
符号语言记作：
如图所示：
AB⊥CD，垂足为O
2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：
垂线段最短.
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
1
2
3
4
5
6
7
8
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.
如图，直线被直线所截
1、∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，
叫做同位角（位置相同）
2、∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）
3、∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角.
6
B
A
D
2
3
4
5
7
8
9
F
E
C
例：
1
如图，判断下列各对角的位置关系：
（1）∠1与∠2；
（2）∠1与∠7；（3）∠1与∠BAD；（4）∠2与∠6；（5）∠5与∠8.
解：
我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图.
如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角.
A
B
C
1
7
A
B
F
2
1
A
B
C
D
2
6
A
D
B
F
1
B
A
F
E
5
8
C
注意：
图中∠2与∠9，它们是同位角吗？
不是，∵∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.
5.2平行线及其判定
5.2.1平行线
1、平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥.
2、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：
⑴相交；⑵平行.
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（∵两点确定一条直线）
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
如左图所示，∵∥，∥
∴∥
注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.
例：
同一平面内，不相交的两条线是平行线.
错解：
对．
错解分析：
平行线是同一平面内两条直线的位置关系，不相交的两条线，说的不明确．若是射线或线段有可能不相交.∴说法是错误的．
正解：
同一平面内，不相交的两条直线是平行线．
5.2.2平行线的判定
判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：
同位角相等，两直线平行
判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：
内错角相等，两直线平行
判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
简称：
同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
例：
判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：
（1）不相交的两条直线必定平行线.
（2）在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交.
（3）过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解：
（1）错误.平行线是在“同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏.
（2）正确
（3）错误.正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.∵如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.
例：
如图，由条件∠2＝∠B，∠1＝∠D，∠3＋∠F＝180°，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？
A
B
E
D
F
C
1
2
3
解：
（1）由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行；
（2）由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；
（3）由∠3＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行.
5.3平行线的性质
5.3.1平行线的性质
性质1：
两直线平行，同位角相等；
性质2：
两直线平行，内错角相等；
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
性质3：
两直线平行，同旁内角互补.
几何符号语言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD
A
D
E
B
C
1
2
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
例：
已知∠1＝∠B，求证：
∠2＝∠C
证明：
∵∠1＝∠B（已知）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠C（两直线平行，同位角相等）
例：
如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°
A
D
F
B
E
C
1
2
3
求∠2、∠3的度数
解：
∵DE∥BC
∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥DF
∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°
例：
如图，直线AB，CD分别和直线MN相交于点E，F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN．若AB∥CD，你能说明EG和FH也平行吗?
错解：
∵EG平分∠BEN，∴∠BEG=∠BEN．
同理，∵FH平分∠DFN，∴∠DFH=∠DFN．
又∵AB∥CD，∴∠BEN=∠DFN；
从而∠BEG=∠DFH．∴EG∥FH．
错解分析：
在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角，是运用平行线的判定或性质的前提．认清一对同位角、内错角或同旁内角的关键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线．而∠BEG和∠DFH不是直线EG，FH被某条直线所截得的同位角，∴由∠BEG=∠DFH不能判定EG∥FH．
正解：
∵EG平分∠BEN，∴∠BEG=∠GEN=∠BEN，
同理，∵FH平分∠DFN，∴∠DFH=∠HFN=∠DFN，
又∵AB∥CD，∴∠BEN=∠DFN，从而∠GEN=∠HFN．
而∠GEN，∠HFN是直线EG，FH被直线MN所截得的同位角，∴EG∥FH．
例：
如图，△ABC中，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
错解：
∵∠1+∠2=180°，∴EF∥AB．
∴∠3+∠BDE=180°．
∵∠3=∠B，∴∠B+∠BDE=180°．
∴DE∥BC．
错解分析：
由∠1＋∠2=180°，不能得到EF∥AB．
虽然∠1和∠2是由直线EF和AB被直线DC所截得的角，
但由于它们不是同旁内角，∴尽管∠1＋∠2=180°，也不能得到EF∥AB．
正解：
∵∠1=∠4，∠1＋∠2=180°，∴∠2+∠4=180°．
∴EF∥DB（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠3+∠BDE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠3=∠B，∴∠B+∠BDE=180°．
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
5.3.2命题、定理、证明
1、命题的概念：
判断一件事情的语句，叫做命题.
2、命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
3、如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题.
如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
4、经过推理证实而得到的真命题叫做定理.
5、在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
5.4平移
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.
②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点
③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征：
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.
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