中考数学能力试题研究最值问题.doc

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中考能力试题最值问题探究

知识储备:

中考数学中几何最值问题是把几何、代数、三角等知识融为一体，综合性强，是考查学生综合素质及应用能力的重要题型．解决好这一热点问题的关键是善于转化，把形形色色的几何最值型综合问题最终化归为“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、“点关于线对称”、“线段的平移”、“直径是圆中最长的弦”、原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”等几何小知识，考得较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

现举隅数例希望在中考在解决某些几何最值问题时能有所借鉴意义．

典例：

⑴已知A（－1，3），B（2,1）在x轴上求一点,

①P1使AP1+BP1最小；②P2使最大

⑵已知C（3,3）,D（－,-1）在x轴上求一点,

①Q1使最大；②Q2使CQ2+DQ2最小；

解：

⑴如图①B（2，1）关于x轴对称B＇（2,-1）,直线AB＇与x轴交点

即为所求AP1+BP1最小点P1（,0）；②直线AB与x轴交点即为P2（）

⑵如图①D关于x轴对称点D＇（）直线CD＇与x轴的交点即为所Q1（）；

②直线CD与x轴的交点Q2（）

一代数问题

1.对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值可以是（）.

A.40B.45C.51D.56

2.已知是整数，则n的最小整数值是________________

3.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：

在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（）=4最小，因此（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（　　）

A.1B.2C.6D.10

二立体图形中的最值问题

1.如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为______．

由题意知底面圆的直径AB=2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=，解得n=90，所以展开图中∠PSC=90°，根据勾股定理求得PC=，所以小虫爬行的最短距离为．

2.如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC一点且PC=．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）．

A． cmB．5 cmC． cmD．7 cm

侧面展开图如图所示,圆柱的底面周长为6cm,∵AC=3cm,PC=∴PC==4cm

在Rt△ACP中,∵∴,故选B:

三平面几何

类型1.线段的长最小

【例1】已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是．

分析：

因为要解决OC的长的最大值，点C在第一象限，结合正三角形，点C恰是

正三角形的顶点，于是过点C作CD⊥ AB于D，连接OC。

易求得△ODC中，

DO＝＝，CD＝，∵△ODC中DO＋DC≥CO，即CO≤ 

 ∴CO≤ ，∴CO的最大值为

O

y

x

A

C

B

Ｄ

O

y

x

A

C

B

【思路点评】充分运用三角形的三边关系逆用“折”转“直”，或者看成点O、C间线段最短，辅助线的添画运用非常巧妙。

2.【例2】如图所示直线上有一点P到原点的距离最近，求这个最短距离。

y

x

O

M

1

1

Ｂ

Ｑ

Ａ

y

x

O

M

1

1

分析：

由ＭＱ所在的直线的解析式为：

，过点Ｍ（－２，１）于是有方程解得：

，　所以，直线上有一点P到原点的距离最近，即ＰＯ⊥ＭＱ时，

∵由直线，设直线分别交ｘ轴、ｙ轴于Ａ、Ｂ两点，当　y＝０时，x＝－，当　ｘ＝０时，ｙ＝－３，

 ∴ A点的坐标为（－，０）B点的坐标为（０，－３），Rt△OAB中，可求得ＡＢ＝，利用△OAB的面积可求得斜边ＡＢ上的高为，即为点P到原点的最近距离。

【思路点评】抓住是直线上一点到原点的距离最近，充分运用点到直线的距离“垂线段最短”，

运用三角形的面积法，得以求得答案。

3.【例3】（2010年浙江杭州）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，

BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC

于F，M为EF中点，则AM的最小值为．

答案：

2.4

练习：

1.（2014•达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是　　cm．

考点：

翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有

分析：

判断出点F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后利用勾股定理列式求出B′D，从而求出AB′，设BE=x，根据翻折的性质可得B′E=BE，表示出AE，在Rt△AB′E中，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF．

解答：

解：

如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，

由翻折的性质得，BC=B′C=10cm，

在Rt△B′DC中，B′D===8cm，∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=2cm，

设BE=x，则B′E=BE=x，AE=AB﹣BE=6﹣x，

在Rt△AB′E中，AE2+AB′2=B′E2，即（6﹣x）2+22=x2，解得x=，

在Rt△BEF中，EF===cm．故答案为：

．

点评：

本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF最大的情况并利用勾股定理列出方程求出BE的长，作出图形更形象直观．

2.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF．

（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；

（2）求出该最小值．

解：

（1）如图由垂线段的性质可知：

当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF的长度有最小值，

（2）连接OE，OF，过O作OH⊥EF于H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，∴由勾股定理得：

AD=BD=2，即此时圆的直径是2，由圆周角定理得：

∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴∠OEH=30°，OE=1，∴在Rt△EOH中，OH=，EH==，由垂径定理得：

EF=2EH=．

【例3】如图，在直角坐标系中，点M（x，0）可在x轴上运动，且它到点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，当MP+MQ的值最小时，求点M的坐标。

分析：

作P点关于x的对称点P′，∵P点的坐标为（5，5）∴P′（5，－5）

PM=P′Ｍ，连结Ｐ′Q，则Ｐ′Q与x轴的交点应为满足ＱＭ+ＰＭ的值最小，即为Ｍ点

设Ｐ′Ｑ所在的直线的解析式为：

　y＝kx　+b（k ≠  0,k、b为常数）,于是有方程组解得：

　所以y＝－２x+５

当　y＝０时，x＝，所以　　Ｍ（，０）

【思路点评】充分运用找点关于线的对称点实现“折”转“直”，归结到点Ｐ′、Ｑ之间线段最短，实现问题的解决。

类型2线段和最小

【例1】（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=　5　．

考点：

轴对称-最短路线问题；菱形的性质．

分析：

作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．

解答：

解：

作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，

∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，

∵M为BC中点，∴Q为AB中点，

∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，

∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，

∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，

在Rt△BOC中，由勾股定理得：

BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，

点评：

本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．

练习：

1.已知在平面直角坐标系中，C是轴上的点，点，，则的最小值是（）

A.B.8C.D.

2.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　　）

解：

作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，

∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD，∵B（3，），∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：

OB=，由三角形面积公式得：

×OA×AB=×OB×AM，∴AM=，∴AD=2×=3，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN=AD=，由勾股定理得：

DN=，∵C（，0），∴CN=3﹣﹣=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：

DC==，即PA+PC的最小值是，故选B．

3.如图9,A,B两个村子分别位于一条河的两岸,现准备合作修建一座桥,桥建在何处才能让由A到B的路程最短?

注意：

桥必须与河岸垂直

4.【数学思考】如图1，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？

（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

【问题解决】如图2，过点B作BB′⊥l2，且BB'等于河宽，连接AB′交l1于点M，作MN⊥l1交l2于点N，则MN就为桥所在的位置．

【类比联想】

（1）如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求证：

AF=EG．

（2）如图4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，设y=，试求y与x的函数关系式．

【拓展延伸】

如图5，一架长5米的梯子斜靠在竖直的墙面OE上，初始位置时OA=4米，由于地面OF较光滑，梯子的顶端A下滑至点C时，梯子的底端B左滑至点D，设此时AC=a米，BD=b米．

（3）当a=______ 米时，a=b．

（4）当a在什么范围内时，a＜b？

请说明理由．

（1）证明：

如图3，过点作DH⊥AF交AB于点H，则有∠1+∠2=90°．

∵GE⊥AF，∴DH∥GE．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠3+∠2=90°，BA=AE，DG∥HE，∴∠3=∠1，

四边形DGEH是平行四边形．∴DH=GE，

在△ABF与△DAH中，∵∴△ABF≌△DAH，∴DH=AF