二次根式知识点+例题分析+难题拓展+测试.docx
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二次根式的知识点汇总
知识点一：
二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：
因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
分析：
二次根式应满足两个条件：
第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
知识点二：
取值范围
1、 二次根式有意义的条件：
由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、 二次根式无意义的条件：
因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？
知识点三：
二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：
因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
例4
（1）已知y=++5，求的值．
（2）若+=0，求a2004+b2004的值
知识点四：
二次根式（）的性质1
（）文字语言叙述为：
一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：
二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：
若，则，如：
，.
例1计算
1．（）22．（3）23．（）24．（）2
例2在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3
（2）x4-4（3）2x2-3
知识点五：
二次根式的性质2
文字语言叙述为：
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，
即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
例1化简
（1）
（2）（3）（4）
例2填空：
当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a是什么数？
（3）>a，则a是什么数？
例3当x>2，化简-．
知识点六：
与的异同点
1、不同点：
与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：
当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
知识点七：
二次根式的乘除
1、乘法·＝（a≥0，b≥0）反过来：
=·（a≥0，b≥0）
2、除法=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）
（思考：
b的取值与a相同吗？
为什么？
不相同，因为b在分母，所以不能为0）
例1．计算
（1）4×
（2）×（3）×（4）×
例2化简
（1）
（2）（3）（4）
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4×=4=8
例4．计算：
（1）
（2）（3）（4）
例5．化简：
（1）
（2）（3）（4）
例6．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
3、最简二次根式应满足的条件：
（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；
（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式
（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）
例1．把下列二次根式化为最简二次根式
（1）;
（2）;（3）
4、化简最简二次根式的方法：
（1）把被开方数（或根号下的代数式）化成积的形式，即分解因式；
（2）化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；
（3）将根号内能开得尽方的因数（或因式）开出来．（此步需要特别注意的是：
开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）
5.有理化因式：
一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与； ②与；
③与； ④与．
说明：
利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
13、同类二次根式：
被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。
如与
知识点八：
二次根式的加减
1、二次根式的加减法：
先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。
（合并方法为：
将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
例1．计算
（1）+
（2）+
例2．计算
（1）3-9+3
（2）（+）+（-）
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
2、二次根式的混合运算：
先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减
3、二次根式的比较：
（1）若，则有；
（2）若，则有．
（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小
例4．比较3与4的大小
【典型例题】
1、概念与性质
例1、下列各式
1），
其中是二次根式的是_________（填序号）．
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
（1）；
（2）
例3、在根式1），
最简二次根式是（）A．1）2）B．3）4）C．1）3）D．1）4）
例4、已知：
例5、已知数a，b，若=b－a，则（ ）
A.a>b B.a2、二次根式的化简与计算
例1.将根号外的a移到根号内，得（ ）
A.； B.－； C.－； D.
例2.把（a－b）化成最简二次根式
例3、计算：
例4、先化简，再求值：
，其中a=，b=．
例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：
3、比较数值
（1）、根式变形法
当时，①如果，则；②如果，则。
例1、比较与的大小。
（2）、平方法
当时，①如果，则；②如果，则。
例2、比较与的大小。
（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3、比较与的大小。
（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、比较与的大小。
（5）、倒数法
例5、比较与的大小。
（6）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①；②
例6、比较与的大小。
4、规律性问题
例1.观察下列各式及其验证过程：
，验证：
；
验证:
.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥2，且n是整数）表示的等式，并给出验证过程.
例3、已知a>b>0，a+b=6，则的值为（）
A．B．2C．D．
例4、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：
甲：
==；
乙：
=。
其中（ ）A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确C.只有甲正确 D.只有乙正确
课堂练习：
1.使式子有意义的条件是。
2.当时，有意义。
3.若有意义，则的取值范围是。
4.当时，是二次根式。
5.在实数范围内分解因式：
。
6.若，则的取值范围是。
7.已知，则的取值范围是。
8.化简：
的结果是。
9.当时，。
10.把的根号外的因式移到根号内等于。
11.使等式成立的条件是。
12.若与互为相反数，则。
13.在式子中，二次根式有（）A.2个B.3个C.4个D.5个
14.下列各式一定是二次根式的是（）
A.B.C.D.
15.若，则等于（）
A.B.C.D.
16.若，则（）
A.B.C.D.
17.若，则化简后为（）
A.B.
C.D.
18.能使等式成立的的取值范围是（）
A.B.C.D.
19.计算：
的值是（）
A.0B.C.D.或
21.若，求的值。
22.当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。
24.已知，求的值。
25.已知为实数，且，求的值。
26.化简：
二次根式的乘除
1.当，时，。
2.若和都是最简二次根式，则。
3.计算：
。
4.计算：
。
5.长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为（精确到0.01）。
6.下列各式不是最简二次根式的是（）
A.B.C.D.
7.已知，化简二次根式的正确结果为（）
A.B.C.D.
8.对于所有实数，下列等式总能成立的是（）
A.B.
C.D.
9.和的大小关系是（）
A.B.C.D.不能确定
10.对于二次根式，以下说法中不正确的是（）
A.它是一个非负数B.它是一个无理数
C.它是最简二次根式D.它的最小值为3
11.计算：
21.3二次根式的加减
1.下列根式中，与是同类二次根式的是（）
A.B.C.D.
2.下面说法正确的是（）
A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B.与是同类二次根式
C.与不是同类二次根式D.同类二次
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