专题复习-实数和二次根式.doc

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专题复习二次根式

知识点归纳：

一．实数：

1.数的分类：

2.平方根的性质：

（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（2）算术平方根具有双重非负性，即：

.

（3）

3.立方根的性质：

（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

（2）

二．二次根式：

1.二次根式的概念：

式子叫做二次根式，具有双重非负性。

2.最简二次根式：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。

3.同类二次根式：

化为最简二次根式后，被开方数相同。

4.分母有理化：

把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。

5.二次根式运算法则：

加减法：

合并同类二次根式；

乘法：

除法：

6.常见化简：

典型例题讲解及变式练习：

例1若一个数的平方根是2a-1和-a+2，求这个正数的平方。

练习：

1.已知某数有两个平方根，分别为a+3和2a-15，求这个数平方的倒数。

2.已知为m+3n的算术平方根，为的立方根，求A+B的值。

3．已知的平方根是，3a+b-1的立方根是4，求a+2b的值。

练习：

1.，求的算术平方根。

2.若互为相反数，求的值。

3.已知，求的值。

4.。

5.已知，求的平方根。

例3已知的小数部分是a，的小数部分为b，求和的值。

练习：

已知的小数部分是a，的小数部分为b，求和的值。

练习：

1.化简。

2.已知，则=。

3.已知，则=_________。

例5最简二次根式与是同类二次根式，则的值是_______.

练习：

1.若与已化成最简二次根式，且被开方数相同，则a=，b=。

2．若是同类最简二次根式，则n=_______,m=_______。

例6已知实数满足，则=_________。

例7计算：

练习：

1.2.

例8较下列每组数里两个数的大小:

;.

比较与的大小比较与的大小

例9化简求值：

已知，求的值。

练习：

1.，其中，

2.设的值。

3．已知：

，求的值．

4．已知的值。

巩固训练：

一．选择题：

1．下列式子中最简二次根式的个数有（）

⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺.

A．2个B．3个C．4个D．5个

2．下列计算正确的有（）

①；②；

③；④；

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．把分母有理化后得（）

A．B．C．D．

6.已知=2，则+=（）

A.3B.4C.5D.6

7．式子中,无论x为何值,一定有意义的式子的个数是（）个.

（A）1（B）2（C）3（D）4

8.如果最简根式和是同类二次根式，那么a，b的值是（）

A.a＝0，b＝2 B.a＝2，b＝0

C.a＝－1，b＝1 D.a＝1，b＝－2

9.化简二次根式的结果是（）

A. B. C. D.

10.已知：

ab>0，bc<0，化简的结果为（）

A. B. C. D.

11.已知：

，则的值。

A.3 B.4 C.5 D.6

12.已知a

　　A、　　　B、　　C、　　D、

13.如果，那么的值等于（）

A. B. C. D.

14.若，，则a、b的关系是（）

A.互为倒数 B.互为相反数

C.相等 D.互为有理化因式

二.填空题：

1.若a的算术平方根是，则a＝________

2.的平方根为__________；_________

3.若时，则_______

4.当a<1且时，化简__________

5.请你观察思考下列计算过程：

；

同样

由此猜想_________

6.已知xy＝3，那么的值为_________

7.实数a在数轴上的位置如图所示，化简________

8.计算_______

9.若，则10x＋2y的平方根为_________

10.根式：

，，，，，，中，最简根式有__________个

11．.代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________

12.的相反数是__________，倒数是__________

14.当时，x的取值范围是_________

15.分母有理化的结果是___________

17.已知，则_________

18.在中，与是同类二次根式的是________

19.如果最简二次根式和是同类二次根式，那么_______

20.已知：

xy＝3，那么的值是_________

21.已知：

，则_________

22.在实数范围内分解因式：

________

23.已知x>0，y>0，且，则________

24.若式子有意义，则x的取值范围是__________

25.当0

26.观察下列各式：

将你猜想到的规律用含自然数n（）的代数式表示出来是____________

三．解答题

1.化简（b>0）

2.计算：

3.用简便方法计算：

已知，求的值。

四．中考链接

1.（08遵义）若，则．

8．（08宁波）若实数满足，则的值是．

9．（08自贡）写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数。

10．（08中山）已知等边三角形ABC的边长为，则ΔABC的周长是__________

11．（2007山东烟台）观察下列各式：

请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________________．

12.（08云南）下列计算正确的是（）

A． B．C．D．

13.（08郴州）下列计算错误的是（）

A．－（－2）=2B．C．2+3=5D．

14．（08聊城）下列计算正确的是（）

A．B． C． D．

15．（08重庆）计算的结果是（）

A、6B、C、2D、

24．（08湖北荆州）下列根式中属最简二次根式的是（　　）

A.B.C.D.

25．（08广东中山市）下列根式中不是最简二次根式的是（）

A． B．C． D．

26．（08桂林）在下列实数中，无理数是（）

A、B、C、D、

27．（08常州）下列实数中,无理数是（）

A. B. C. D.

28．（08宜昌）从实数－，－，0，л，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（）

A.－，0B.л，4C.－，4D.－，л

29．（08宁波）比大的实数是（）

A． B． C． D．

31.（08永州）下列判断正确的是（　　）

A．＜＜2 B．2＜＋＜3C．1＜－＜2 D．4＜·＜5

32．（08益阳）一个正方体的水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在

A.4cm~5cm之间B.5cm~6cm之间C.6cm~7cm之间D.7cm~8cm之间

33．（08芜湖）估计的运算结果应在（　　）．

Ａ．6到7之间 Ｂ．7到8之间 Ｃ．8到9之间 Ｄ．9到10之间

38．（08大连）若，则xy的值为（）

A．B．C．D．

39.（08常州）若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是（）

A.x>-5 B.x<-5 C.x≠-5 D.x≥-5

40.（08常州）化简:

41。

（08苏州）计算：

．

42．（08广东湛江）计算：

（）2008－（－）0＋．

43．（08沈阳）计算：

．

45．（08宁夏）先化简，再求值：

，其中。

23．甲同学用如图方法作出C点，表示数，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，且点O，A，C在同一数轴上，OB=OC

（1）请说明甲同学这样做的理由；

（2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示﹣的点A．

24．如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．

（1）如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？

（2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3，，2．

25．阅读下列材料，然后解答下列问题：

在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

（一）==；

（二）===﹣1；

（三）====﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．

（1）请用不同的方法化简：

①参照

（二）式化简=　　．

②参照（三）式化简=　　．

（2）化简：

+++…+．

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