一元二次方程综合培优1(难度大-含参考答案).doc
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一元二次方程提高题
1、已知，则的值是.
2、已知，则.
3、若，且，，则.
4、已知方程没有实数根，则代数式.
5、已知，则y的最大值为.
6、已知，，，则（）
A、B、C、D、
7、已知，，则.
8、已知，则.
9、已知，，则.
10、若方程的二根为，，且，，则（）
A、小于1B、等于1C、大于1D、不能确定
11、已知是方程的一个根，则的值为.
12、若，则（）
A、2011B、2010C、2009D、2008
13、方程的解为.
14、已知，则的最大值是（）
A、14B、15C、16D、18
15、方程恰有3个实根，则（）
A、1B、1.5C、2D、2.5
16、方程的全体实数根之积为（）
A、60B、C、10D、
17、关于x的一元二次方程（a为常数）的两根之比，则（）
A、1B、2C、D、
18、已知是、方程的两个实根，则.
19、若关于x的方程只有一解，求a的值。
中考真题
1、若，则的值为（）
2、已知实数、满足，，且，则的值为（）
A、1B、3C、－3D、10
3、实数x、y满足方程，则y最大值为（）
A、B、C、D、不存在
4、方程的所有整数解的个数是（）
A、2B、3C、4D、5
5、已知关于x的方程的两根分别为和1，则方程的两根为（）
A、和1B、和1C、和D、和
6、实数x、y满足，记，则u的取值范围是（）
A、B、C、D、
7、已知实数m，n满足，，则.
9、已知方程的两实根的平方和等于11，k的取值是（）
A、或1B、C、1D、3
10、设a，b是整数，方程有一个实数根是，则.
13、已知方程的一根小于，另外三根皆大于，求a的取值范围。
14、已知关于x的方程有实数根，且，试问：
y值是否有最大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。
15、求所有有理数q，使得方程的所有根都是整数。
一元二次方程培优题及参考答案
1、已知，则的值是（D）
A、2001B、2002C、2003D、2004
答案：
D
解析：
由得：
归纳：
本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。
2、已知，则.
答案：
2002
解析：
由得：
，，
原式
归纳：
本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。
3、若，且，，则.
答案：
解析：
由得：
∵，即∴把a和作为一元二次方程的两根
∴
归纳：
本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。
4、已知方程没有实数根，则代数式.
答案：
2
考点：
根的判别式。
分析：
由方程没有实数根，得，求的a的范围，然后根据此范围化简代数式。
解答：
解：
∵已知方程没有实数根
∴，即，，得
则代数式
归纳：
本题考查了一元二次方程根的判别式。
当时，方程没有实数根。
同时考查了一元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。
5、已知，则y的最大值为.
答案：
考点：
二次函数的最值。
专题：
计算题；换元法．
分析：
此题只需先令，用x表示t，代入求y关于t的二次函数的最值即可。
解答：
令，
则
又，且y关于t的二次函数开口向下，则在处取得最大值
即y最大值为，即
归纳：
本题考查了二次函数的最值，关键是采用换元法，将用t来表示进行解题比较简便。
6、已知，，，则（）
A、B、C、D、
答案：
B
考点：
根的判别式。
专题：
综合题。
分析：
由，，，得到a，b两个负数，再由，，这样可以把a，b看作方程的两根，根据根的判别式得到，解得，然后由得到.
解答：
∵，，∴，，
∴，
∴可以把a，b看作方程
∴，解得∴，即
点评：
本题考查了一元二次方程根的判别式：
如方程有两个实数根，则．也考查了一元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。
7、已知，，则.
答案：
0
考点：
因式分解的应用；非负数的性质：
偶次方。
分析：
本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口。
由可得；将其代入得：
；此时可发现正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可。
解答：
∵∴
又∵∴，即
∴，∴∴
归纳：
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．
8、已知，则.
答案：
考点：
因式分解的应用。
专题：
整体思想。
分析：
根据已知条件可得到，然后整体代入代数式求值计算即可。
解答：
∵∴
∴原式
点评：
这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。
9、已知，，则.
答案：
0
考点：
拆项、添项、配方、待定系数法。
专题：
计算题．
分析：
先将字母b表示字母a，代入，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到的值。
解答：
∵∴
代入，可得（，即
∴，∴∴
归纳：
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。
解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。
10、若方程的二根为，，且，，则（）
A、小于1B、等于1C、大于1D、不能确定
答案：
A
考点：
根与系数的关系．
专题：
计算题．
分析：
方程的二根为，，根据根与系数的关系及已知条件即可求解。
解答：
∵方程的二根为，∴，
∵，∴
∴∴
∵∴
归纳：
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握，是方程的两根时，，．
11、已知是方程的一个根，则的值为.
答案：
考点：
因式分解的应用。
专题：
整体思想。
分析：
根据已知条件可得到，即然后整体代入代数式求值计算即可。
解答：
∵是方程的一个根∴，即
∴原式
点评：
这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。
12、若，则（）
A、2011B、2010C、2009D、2008
答案：
B
考点：
因式分解的应用．
专题：
计算题；整体思想．
分析：
将化简为，整体代入变形的式子，计算即可求解．
解答：
∵，即∴
归纳：
本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解。
13、方程的解为.
答案：
考点：
利用方程的同解原理解答。
专题：
计算题。
解答：
两边同时平方得：
整理得：
再平方得：
解得：
归纳：
本题考查将无理方程通过平方的方式转化为有理方程解答。
14、已知，则的最大值是（）
A、14B、15C、16D、18
答案：
B
考点：
完全平方公式。
分析：
由得代入，通过二次函数的最值，求出它的最大值。
解答：
化为，，故
二次函数开口向下，当时表达式取得最大值
由于所以时此时，表达式取得最大值：
15
点评：
本题是中档题，考查曲线与方程的关系，直接利用圆锥曲线解答比较麻烦，利用转化思想使本题的解答比较简洁，注意二次函数闭区间是的最大值的求法。
15、方程恰有3个实根，则（）
A、1B、1.5C、2D、2.5
答案：
C
考点：
解一元二次方程-公式法；绝对值；一元二次方程的解。
专题：
解题方法。
分析：
因为方程中带有绝对值符号，所以讨论方程的根分两种情况：
当时，原方程为；当时，原方程为．
解答：
当时，原方程为：
，化为一般形式为：
用求根公式得：
当时，原方程为：
，化为一般形式为：
用求根公式得：
∵方程的根恰为3个，而当时，方程的3个根分别是，，．
归纳：
本题考查未知数的取值范围，以确定字母系数m的值。
16、方程的全体实数根之积为（）
A、60B、C、10D、
答案：
A
考点：
换元法解分式方程。
专题：
换元法。
分析：
设，原方程化成，再整理成整式方程求解即可。
解答：
设，则∴，解得，
当时，，解得
当时，，解得或
∴
归纳：
本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想。
17、关于x的一元二次方程（a为常数）的两根之比，则（）
A、1B、2C、D、
答案：
C
考点：
一元二次方程根与系数的关系及求解。
解答：
设的两根分别为，，由根与系数的关系得：
，
∴，∴
归纳：
本题考查了用根与系数的关系解决问题，关键是利用公式巧妙变形。
18、已知是、方程的两个实根，则.
答案：
5
考点：
根与系数的关系；代数式求值；完全平方公式。
专题：
计算题。
分析：
由方程的根的定义，可知，移项，得，两边平方，整理得①；由一元二次方程根与系数的关系，可知②；将①②两式分别代入，即可求出其值。
解答：
∵是方程的根∴
∴∴
又∵、方程的两个实根
∴∴
归纳：
本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系。
难度中等。
关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解。
19、若关于x的方程只有一解，求a的值。
答案：
或
考点：
解分式方程。
分析：
先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出a的值。
解答：
原方程化为①
（1）当时，原方程有一个解，
（
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