《离散数学》复习题及答案.doc

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《离散数学》试题及答案

一、选择或填空

（数理逻辑部分）

1、下列哪些公式为永真蕴含式？

（　　　）

（1）Q=>Q→P

（2）Q=>P→Q（3）P=>P→Q（4）P（PQ）=>P

答：

（1），（4）

2、下列公式中哪些是永真式？

（）

（1）（┐PQ）→（Q→R）

（2）P→（Q→Q）（3）（PQ）→P（4）P→（PQ）

答：

（2），（3），（4）

3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?

（）

（1）P=>PQ

（2）PQ=>P（3）PQ=>PQ

（4）P（P→Q）=>Q（5）（P→Q）=>P（6）P（PQ）=>P

答：

（2），（3），（4），（5），（6）

4、公式"x（（A（x）®B（y，x））Ù$zC（y，z））®D（x）中，自由变元是（），约束变元是（）。

答：

x,y,x,z

5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

（）

（1）北京是中华人民共和国的首都。

（2）陕西师大是一座工厂。

（3）你喜欢唱歌吗？

（4）若7+8＞18，则三角形有4条边。

（5）前进！

（6）给我一杯水吧！

答：

（1）是，T

（2）是，F（3）不是

（4）是，T（5）不是（6）不是

6、命题“存在一些人是大学生”的否定是（），而命题“所有的人都是要死的”的否定是（）。

答：

所有人都不是大学生，有些人不会死

7、设P：

我生病，Q：

我去学校，则下列命题可符号化为（）。

（1）　只有在生病时，我才不去学校

（2）若我生病，则我不去学校

（3）　当且仅当我生病时，我才不去学校（4）若我不生病，则我一定去学校

答：

（1）

（2）（3）（4）

8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是（）。

（1）"x$y（x+y=0）

（2）$y"x（x+y=0）

答：

（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0

（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0

9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：

（1）"x$y（xy=y）　　（　　）　　

（2）$x"y（x+y=y）　　（　　）

（3）$x"y（x+y=x）　（　　）　　（4）"x$y（y=2x）　　（　　）

答：

（1）F

（2）F（3）F（4）T

10、设谓词P（x）：

x是奇数，Q（x）：

x是偶数，谓词公式$x（P（x）ÚQ（x））在哪个个体域中为真?

（）

（1）自然数　　

（2）实数　　（3）复数　　（4）

（1）--（3）均成立

答：

（1）

11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

答：

2不是偶数且-3不是负数。

12、永真式的否定是（）

（1）永真式　

（2）永假式　（3）可满足式　（4）

（1）--（3）均有可能

答：

（2）

13、公式（PQ）（PQ）化简为（），公式Q（P（PQ））可化简为（）。

答：

P，QP

14、谓词公式"x（P（x）Ú$yR（y））Q（x）中量词"x的辖域是（）。

答：

P（x）Ú$yR（y）

15、令R（x）:

x是实数，Q（x）:

x是有理数。

则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。

答：

"x（R（x）Q（x））

（集合论部分）

16、设A={a,{a}}，下列命题错误的是（）。

（1）{a}P（A）　

（2）{a}P（A）　（3）{{a}}P（A）　（4）{{a}}P（A）

答：

（2）

17、在0（）之间写上正确的符号。

（1）=　

（2）　（3）　（4）

答：

（4）

18、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P（S）|=（）。

答：

32

19、设P={x|（x+1）4且xR},Q={x|5x+16且xR},则下列命题哪个正确（）

（1）QP　　

（2）QP　（3）PQ　（4）P=Q

答：

（3）

20、下列各集合中，哪几个分别相等（）。

（1）A1={a,b}

（2）A2={b,a}（3）A3={a,b,a}（4）A4={a,b,c}

（5）A5={x|（x-a）（x-b）（x-c）=0}（6）A6={x|x2-（a+b）x+ab=0}

答：

A1=A2=A3=A6，A4=A5

21、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？

（）

（1）A=Ф

（2）B=Ф　（3）AB（4）BA

答：

（4）

22、判断下列命题哪个为真?

（）

（1）A-B=B-A=>A=B

（2）空集是任何集合的真子集

（3）空集只是非空集合的子集（4）若A的一个元素属于B，则A=B

答：

（1）

23、判断下列命题哪几个为正确？

（　　　）　

（1）{Ф}∈{Ф,{{Ф}}}

（2）{Ф}{Ф,{{Ф}}}（3）Ф∈{{Ф}}

（4）Ф{Ф}（5）{a,b}∈{a,b,{a},{b}}

答：

（2），（4）

24、判断下列命题哪几个正确？

（　　　　　）

（1）所有空集都不相等

（2）{Ф}Ф（4）若A为非空集，则AA成立。

答：

（2）

25、设A∩B=A∩C，∩B=∩C，则B（　）C。

答：

=（等于）

26、判断下列命题哪几个正确？

（　　　　　）

（1）若A∪B＝A∪C，则B＝C

（2）{a,b}={b,a}

（3）P（A∩B）P（A）∩P（B）（P（S）表示S的幂集）

（4）若A为非空集，则AA∪A成立。

答：

（2）

27、Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确：

（1）AB，BC=>AC

（2）AB，BC=>A∈B（3）A∈B，B∈C=>A∈C

答：

（1）

（二元关系部分）

28、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求

（1）R

（2）R-1。

答：

（1）R={<1,1>,<4,2>}

（2）R={<1,1>,<2,4>}

29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。

（　　　　）

答：

A上的恒等关系

30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？

（）

答：

自反性、对称性和传递性

31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么？

（）

答：

自反性、反对称性和传递性

32、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝

求

（1）RR

（2）R-1。

答：

RR={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}

R-1=｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝

33、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除关系，求R={（　　　　　）}。

答：

R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,

<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}

34、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=2y｝，求

（1）R

（2）R-1。

答：

（1）R={<1,1>,<4,2>,<6,3>}

（2）R={<1,1>,<2,4>,（36>}

35、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求R和R-1的关系矩阵。

答：

R的关系矩阵=R的关系矩阵=

36、集合A={1,2,…,10}上的关系R={|x+y=10,x,yA}，则R的性质为（）。

（1）自反的　　

（2）对称的　　（3）传递的，对称的（4）传递的

答：

（2）

（代数结构部分）

37、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：

a*b=max{a,b}，则在独异点中，单位元是（），零元是（）。

答：

2，6

38、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：

a*b=min{a,b}，则在独异点中，单位元是（），零元是（）；

答：

9，3

（半群与群部分）

39、设〈G,*〉是一个群，则

（1）若a,b,x∈G，ax=b，则x=（）；

（2）若a,b,x∈G，ax=ab，则x=（）。

答：

（1）ab

（2）b

40、设a是12阶群的生成元，则a2是（）阶元素，a3是（）阶元素。

答：

6,4

41、代数系统是一个群，则G的等幂元是（　　　　）。

答：

单位元

42、设a是10阶群的生成元，则a4是（）阶元素，a3是（）阶元素。

答：

5，10

43、群的等幂元是（　　），有（　　　）个。

答：

单位元，1

44、素数阶群一定是（）群,它的生成元是（）。

答：

循环群，任一非单位元

45、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则

（1）若ca=b，则c=（）；

（2）若ca=ba，则c=（）。

答：

（1）b

（2）b

46、是的子群的充分必要条件是（）。

答：

是群或"a，bG，abH，a-1H或"a,bG，ab-1H

47、群＜A,*＞的等幂元有（　　　）个，是（　　　），零元有（　　　）个。

答：

1，单位元，0

48、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是（）。

答：

k

49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？

（）

（1）a*b=a-b　　

（2）a*b=max{a,b}　（3）a*b=a+2b　（4）a*b=|a-b|

答：

（2）

50、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

（1）不可能是群　　

（2）不一定是群　

（3）一定是群　（4）是交换群

答：

（1）

51、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

（1）2阶　　

（2）3阶（3）4阶　（4）6阶

答：

（3）

（格与布尔代数部分）

52、下列哪个偏序集构成有界格（）

（1）（N,）　

（2）（Z,）

（3）（{2,3,4,6,12},|（整除关系））　（4）（P（A）,）

答：

（4）

53、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

（1）偶数　

（2）奇数（3）4的倍数　（4）2的正整数次幂

答：

（4）

（图论部分）

54、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是（）。

（1）欧拉图

（2）树　（3）平面图（4）　连通图

答：

（4）

55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？

（　　　　　　）

（1）{0，10，110，101111}　　　

（2）{01，001，000，1}

（3）{b，c，aa，ab，aba}　　　（4）{1，11，101，001，0011}

答：

（2）

56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中（）的路。

答：

所有结点一次且恰好一次

57、在有向图中，结点v的出度d