24章圆复习学案.doc

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第二十四章《圆》复习

【一、知识点】

（一）圆的有关概念和性质

1．圆是轴对称图形，经过的直线都是对称轴；又是中心对称图形，对称中心是．

2．顶点在的角叫做圆周角．

3．顶点在，并且两边都和圆的角叫做圆周角．

4．经过圆的外一点作圆的切线，的长叫做这点到圆的切线长．

5．三角形的三个顶点可以确定一个圆，这个圆叫做，外接圆的圆

心叫做三角形的，它到三角形都相等，是的交点．

6．和三角形三边都的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的；它到三角形都相等，是的交点．

（二）与圆有关的位置关系

7．点与圆的位置关系

位置关系

数量关系

点在圆内

8．直线与圆的位置关系

公共点个数

位置关系

数量关系

（三）重要定理

9．垂径定理：

垂直于弦的直径弦且平分弦所对的。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：

此定理中共5个结论中，2个可推出其它3个结论，

即：

①是直径②③④弧弧⑤弧弧

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧。

即：

在⊙中，∵∥∴弧弧

10、圆心角定理：

在同圆或圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，所对应的弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：

①；②；③；④弧弧

11、圆周角定理：

同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的角的一半。

即：

∵和是弧所对的圆心角和圆周角∴。

圆周角定理的推论：

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：

在⊙中，∵、都是所对的圆周角∴

推论2：

半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：

在⊙中，∵是直径∴。

（∵∴是）

推论3：

若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：

在△中，∵∴△是三角形或。

12、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：

圆的内接四边形的对角。

即：

在⊙中，∵四边形是内接四边形∴=。

13、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：

过半径且于半径的直线是圆的切线；

即：

∵且过半径外端∴是⊙的切线

（2）性质定理：

切线垂直于过点的半径（如右图）

14、切线长定理：

从圆外一点引圆的条切线，它们的切线长，这点和圆心的连线两条切线的夹角。

即：

∵、是的两条切线∴PA=平分.

15、正多边形的计算

（1）正三角形计算在中进行：

；

（2）正四边形计算在中进行，：

（3）正六边形计算在中进行，.

16、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

（1）扇形：

①弧长公式：

；②扇形面积公式：

=

（2）、圆柱：

=

（3）圆锥侧面展开图=

【二、考点】

考点1：

基本概念和性质

例1．有下列四个命题：

①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）．

A．4个B．3个C．2个D．1个

考点2：

圆心角与圆周角的关系

例2．如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CD，∠B＝22°，则∠A＝________°．

考点3：

垂径定理

例3．（2010芜湖）如图，在⊙O中，有折线，其中，，，则弦的长为（）。

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

考点4：

切线的判断和性质

例4．已知：

△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F.

（1）求证：

直线EF是⊙O的切线；

（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.

考点5：

弧长扇形面积的计算

例6．如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积 ．

考点6：

圆锥的侧面展开问题

例7．已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为__________cm2．

考点7：

正多边形的计算

6、如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）

A． B．C． D．

【三、圆易错点】

1．注意考虑点的位置（在解决点与圆的问题时，应注意对点的位置进行分类，如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等）

例１．点到⊙上的最近距离为，最远距离为，则⊙的半径为　　　　．

例２．是⊙的一条弦，，点A是⊙上的一点（不与B、C重合），则的度数为．

2．注意考虑弦的位置（解决与弦有关的问题时，应对两条的位置进行分类，即注意位于圆心同侧和异侧的分类．）

例3．在半径为的圆中，有两条平行的弦，分别长和，则这两条平行弦的距离是　　．

例4．是⊙的直径，、是⊙的两条弦，且，，则的度数为．

3．注意公共点的个数（在涉及直线与圆的位置关系时，应注意有公共点和有唯一公共点的区别．）

例5．⊙的半径为，点在直线上，且，则⊙和直线的位置关系为．