2018-2019学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试题6.doc

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2018-2019学年浙教版重点中学自主招生数学模拟试题

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．是整数，正整数n的最小值是（　　）

A．0 B．2 C．3 D．4

2．如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是（　　）

①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．

A．①③ B．①④ C．②④ D．③④

3．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（　　）

A．4cm B．4cm C．4cm D．4cm

4．已知﹣=5，则分式的值为（　　）

A．1 B．5 C． D．

5．已知一次函数y=﹣x+b，过点（﹣8，﹣2），那么一次函数的解析式为（　　）

A．y=﹣x﹣2 B．y=﹣x﹣6 C．y=﹣x﹣10D．y=﹣x﹣1

6．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（　　）

A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3

C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣3

7．已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（　　）

A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1

8．已知二次函数y=2x2+8x+7的图象上有点A（﹣2，y1），B（﹣5，y2），C（﹣1，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　）

A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1

9．如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP=90°．设点P的坐标为（m，0），则m的取值范围是（　　）

A．3≤m≤4 B．2≤m≤4 C．0≤m≤ D．0≤m≤3

10．二次函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a﹣1时，函数值（　　）

A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m

二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）

11．若a﹣b=1，ab=﹣2，则（a﹣2）（b+2）=　　．

若二次三项式x2﹣（m﹣2）x+16是一个完全平方式，则字母m的值是　　．

12．若a，b为实数，且|a+1|+=0，则（ab）2014的值为　　．

13．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=　　．

14．反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是　　．

15．已知抛物线y=﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2（m是常数），若0≤x≤1时，函数y有最大值﹣5，则m的值为　　．

16．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．

①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是　　；

②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=　　．

三．解答题（共5小题，满分50分）

17．（10分）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．

（1）△ABC的面积为：

　　．

（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为　　．

（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是　　m2．

18．（8分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a．

（Ⅰ）求该二次函数的对称轴；

（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；

（Ⅲ）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．

19．（8分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等边三角形DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图1所示）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、N．当点F运动到点C时，△DEF终止运动，此时点D恰好落在AB上，设△DEF平移的时间为x．

（1）求△DEF的边长；

（2）求M点、N点在BA上的移动速度；

（3）在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE⇒EF运动，最终运动到F点．若设△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式，写出它的定义域；并说明当P点在何处时，△PMN的面积最大？

20．（12分）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=﹣+c且过顶点C（0，5）（长度单位：

m）

（1）直接写出c的值；

（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元？

（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数．（精确到0.1°）

21．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：

与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．解：

∵是整数，

∴正整数n的最小值为2，

故选：

B．

2．证明：

①∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，

故①错误，

②如图1，连结CD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDF=90°，

假设AC平分∠BAF成立，则有DC=BC，

∴在RT△FDB中，DC=BC=FC，

∴AC⊥BF，且平分BF，

∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，与①中的AC垂直BF，但不能得出AC平分BF相矛盾，

故②错误，

③如图2：

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，

∴D、P、C、F四点共圆，

∴∠CFP和∠CDB都对应，

∴∠CFP=∠CDB，

∵∠CDB=∠CAB，

∴∠CFP=∠CAB，

又∵∠FPC=∠APM，

∴△AMP∽△FCP，

∠ACF=90°，

∴∠AMP=90°，

∴FP⊥AB，

故③正确，

④∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AF．

故④正确，

综上所述只有③④正确．

故选：

D．

3．解：

如图，连接DE．

由题意，在Rt△DCE中，CE=4cm，CD=8cm，

由勾股定理得：

DE===cm．

过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知MG=BC=CD．

连接DE，交MG于点I．

由折叠可知，DE⊥MN，∴∠NMG+MIE=90°，

∵∠DIG+∠EDC=90°，∠MIE=∠DIG（对顶角相等），

∴∠NMG=∠EDC．

在△MNG与△DEC中，

∴△MNG≌△DEC（ASA）．

∴MN=DE=cm．

故选：

D．

4．解：

已知等式整理得：

=5，即x﹣y=﹣5xy，

则原式===1，

故选：

A．

5．解：

把（﹣8，﹣2）代入y=﹣x+b得：

﹣2=8+b，

解得：

b=﹣10，

则一次函数解析式为y=﹣x﹣10，

故选：

C．

6．解：

∵﹣4x2+3=5x

∴﹣4x2﹣5x+3=0，或4x2+5x﹣3=0

∴a=﹣4，b=﹣5，c=3或a=4，b=5，c=﹣3．

故选：

B．

【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．

7．解：

设在直角三角形ABC中，∠A=α，∠C=90°，

故sinα=，cosα=；

则m=sinα+cosα=＞1．

故选：

A．

8．解：

∵二次函数y=2x2+8x+7中a=2＞0，

∴开口向上，对称轴为x=﹣=﹣=﹣2，

∵A（﹣2，y1）中x=﹣2，y1最小，B（﹣5，y2），点B关于对称轴的对称点B′横坐标是2×（﹣2）﹣（﹣5）=1，则有B′（1，y2），因为在对称轴得右侧，y随x得增大而增大，故y2＞y3．

∴y2＞y3＞y1．

故选：

C．

9．解：

令y=0，则﹣x+3=0，

解得x=4，

所以，点B的坐标为（4，0），

过点C作CD⊥x轴于D，

设点C的坐标横坐标为a，则OD=a，PD=m﹣a，

∵∠OCP=90°，

∴△OCD∽△CPD，

∴=，

∴CD2=OD•DP，

∴（﹣a+3）2=a（m﹣a），

整理得，m=a+﹣，

所以，m≥2﹣=3，

∵点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），

∴OC⊥AB时，点P、B重合，m最大，

∴m的取值范围是3≤m≤4．

故选：

A．

10．解：

∵对称轴是x=，0＜x1＜

故由对称性＜x2＜1

当x=a时，y＜0，

则a的范围是x1＜a＜x2，

所以a﹣1＜0，

当x时y随x的增大而减小，

当x=0时函数值是m．

因而当x=a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．

故选：

C．

二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）

11．解：

（1）（a﹣2）（b+2）

=ab+2a﹣2b﹣4

=ab+2（a﹣b）﹣4

=﹣2+2﹣4

=﹣4

（2）∵（x±4）2=x2±8x+16，

∴﹣（m﹣2）=±8，

∴m=10或m=﹣6

故答案为：

﹣4；10或﹣6

12．解：

∵|a+1|+=0，

又∵|a+1|≥0，≥0，

∴a+1=0，b﹣1=0，

∴a=﹣1，b=1，ab=﹣1，

∴（ab）2014=（﹣1）2014=1．

故答案为1．

13．解：

∵DF=DC，DE=DB，且∠EDF+∠BDC=180°，

过点A作AI⊥EH，交HE的延长线于点I，

∴∠I=∠DFE