三角函数届高三数学一轮复习讲义.docx
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三角函数届高三数学一轮复习讲义
专题4-1三角函数概念&基本关系&诱导公式
三角函数的概念
内容
1、任意角、弧度制
2、弧度与角度互化
3、任意角的三角函数定义
知识点
1、任意角
2、弧度制
3、任意三角函数
（1）单位圆：
x2+y2=1，即圆心在原点，半径r为1的圆中任意角θ终边与圆交于A（x,y）
sinθ==y；cosθ==x；tanθ=；ctanθ=；
（2）终边相同的角具有相同的三角函数值
（3）三角函数的正负性
1sinθ=，cscθ=：
一、二象限﹢；三、四象限﹣
2cosθ=，secθ=：
一、四象限﹢；二、三象限﹣
3tanθ=，ctanθ=：
一、三象限﹢；二、四象限﹣
（4）三角函数增减性：
[0,]之间，sin↑，cos↓，tan↑，ctan↓
例1若tanα>0，则（）
Asin2α>0Bcosα>0Csinα>0Dcos2α>0
【答案】A
【分析】>0，sinα与cosα同号
【详解】
方法一：
A中sin2α=2sinαcosα>0
B、C中sinα与cosα同号，可正可负
D中cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α与0的大小不能确定
方法二：
由tanα>0知：
α为第一或三象限角，α∈（）
∴排除B、C
2α为第一或二象限角，2α∈（）
∴sin2α>0，而cos2α与0的大小不确定
故，选A
例2已知角α的顶点与原点重合，始边在x轴正半轴上，终边过点P（-,-）
（1）求sin（α+π）的值
（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值
【答案】
（1）；
（2）或
【分析】
（1）确定象限角，利用诱导公式求值；
（2）应用两角差余弦公式
【详解】
（1）终边过点P（-,-）知：
α为第三象限角
sin（α+π）=-sinα=
（2）cosβ=cos（α+β-α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
sin（α+β）=有cos（α+β）=±，而cosα=-
∴cosβ=或
例3已知角θ=的终边经过P（x,2），则x的值为（）
A±2B2C-2D-4
【答案】C
【分析】确定θ的象限，选择适当的三角函数求x
【详解】
θ==+2π，即θ为第二象限角
∴x<0
而tanθ=tan（+2π）=tan=-
∴由tan==-
故，x=-2
例4已知锐角α的终边上有一点P（1+cos80°,sin80°），则α=______
【答案】40°
【分析】利用tan函数值等于，结合三角恒等变换得到α
【详解】
tanα====tan40°
例5平面直角坐标系中xOy中，α以x正半轴为始边，终边过（-1,m）（m≠0），则下列各式的值一定为负的是（）
Asinα+cosαBsinα-cosαCsinα·cosαD
【答案】D
【分析】根据横坐标为-1确定α的象限，进而确定对应各三角函数的符号
【详解】
方法一：
终边过（-1,m）（m≠0）知：
α为二或三象限角
∴α对应三角函数的符号如下
二象限：
sinα>0、cosα<0、tanα<0
三象限：
sinα<0、cosα<0、tanα>0
故，选D
方法二：
sinα=、cosα=-、tanα=-m
∴=-<0
例6角α终边在y=2x上，则sinα的值为（）
A-BCD±
【答案】D
【分析】终边在y=2x上，说明α可能在一或三象限
【详解】
∵α可能在一或三象限
∴sinα的值可正可负
故，选D
总结
1、概念应用
（1）知角α的终边上一点，求出点到原点距离，应用三角函数定义求解三角函数值
（2）若终边的点坐标含参，讨论参数确定三角函数值符号
（3）知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数定义求终边上的某点的坐标
三角变换公式
内容
1、同角三角函数基本关系
2、单位圆中推导出±α、π±α的三角函数的诱导公式
知识点
1．tanθ=，ctanθ=，tanθ=
2．sin2θ﹢cos2θ=1；tan2θ﹢1=sec2θ；ctan2θ﹢1=csc2θ
3．sin（﹣θ）=cosθ，cos（﹣θ）=sinθ
4．tan（﹣θ）=ctanθ，ctan（﹣θ）=tanθ
角
α+2kπ，k∈Z
α+π
-α
π-α
-α
+α
sin
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
cos
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
tan
tanα
tanα
-tanα
-tanα
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
例7tanα=，则cos2α+2sin2α=（）
ABC1D
【答案】A
【分析】利用tanα=及cos2α+sin2α=1求值
【详解】
tanα=，有sinα=cosα
∵cos2α+sin2α=1，则cos2α=
∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosα=4cos2α=
故，选A
例8函数f（x）=sin2x+cosx-（x∈[0,]）的最大值为（）
【答案】1
【分析】利用cos2α+sin2α=1，换元将问题转化为求二次函数最大值，注意换元后定义域
【详解】
sin2x=1-cos2x
f（x）=1-cos2x+cosx-=-cos2x+cosx+
由x∈[0,]知：
令t=cosx∈[0,1]
g（t）=-t2+t+=-（t-）2+1
∴gmax（t）=1
例9平面直角坐标系中，角α、β始边在x轴正半轴上，终边关于y轴对称，sinα=则cos（α-β）=_____
【答案】-
【分析】关于y轴对称判断α、β对应正余弦值的关系，利用两角差余弦公式化简求值
【详解】
α、β终边关于y轴对称且sinα=，知：
sinα=sinβ，cosα=-cosβ，如下图示
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=sin2α-cos2α=2sin2α-1=-
例10第四象限角θ且sin（θ+）=则tan（θ-）=_____
【答案】-
【分析】θ+=θ-+，而θ为第四象限角则（θ+）在第一或四象限
【详解】
tan（θ-）===-
由sin（θ+）=知：
cos（θ+）=
∴tan（θ-）=-
例11已知sin（-α）=-，0<α<π，则sin2α的值（）
A-B-CD
【答案】B
【分析】根据诱导公式得到cosα，结合0<α<π确定α的象限
【详解】
sin（-α）=-知：
cosα=-而0<α<π
∴α为第二象限角，即sinα=
∴sin2α=2sinαcosα=-
故，答案为B
例12已知θ为锐角，=，则sin（θ+）的值（）
ABCD
【答案】D
【分析】化简，根据条件求出θ的三角函数值，sin（θ+）的两角和展开式求值
【详解】
===tan2θ=
∵θ为锐角，有tanθ=：
sinθ=，cosθ=
∴sin（θ+）=sinθcos+cosθsin=
例13已知cos（θ-）=-，则sin（θ+）=（）
AB-CD-
【答案】D
【分析】注意已知角与所求角的关系：
θ+=θ+-
【详解】
sin（θ+）=cos（θ+-）=cos（θ-）=-
例14已知0【答案】
【分析】利用条件sinx-cosx=与所求函数各项的联系，做相应变形得到各项的值
【详解】
（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=，有sinxcosx=
sinx-cosx=sin（x-）=，有sin（x-）=，0∴cos（x-）=而2sin（x-）cos（x-）=sin（2x-）=-cos2x=
cos2x==
综上：
4sinxcosx-cos2x=
例15已知cos（α-）=，则sin（α+）的值_____
【答案】-
【分析】cos（α-）、sin（α+）展开式中有共同部分（sinα+）
【详解】
sin（α+）=sin（α++π）=-sin（α+）=-（sinαcos+cosαsin）
=-（sinα+）
而cos（α-）=cosαcos+sinαsin=sinα+=
∴sin（α+）=-
例16已知cos（-α）=，则cos（α+）-sin2（α-）=_____
【答案】-
【分析】（α+）=（α++）、（α-）=（α+-）、（-α）=[-（α+）]，通过诱导公式得到（α+）的三角函数
【详解】
cos（α+）=cos（α++）=-sin（α+）
sin2（α-）=sin2（α+-）=[-cos（α+）]2=cos2（α+）
而cos（-α）=cos[-（α+）]=sin（α+）=
∴cos2（α+）=
即cos（α+）-sin2（α-）=--=-
总结
1、三角函数化简
（1）思路：
分析结构，选择适当公式，利用公式化单角形式的三角函数，化简
（2）要求：
结果中项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值要得到最终值
（3）弦切互化：
题干含sin、cos、tan，利用tan=
（4）“1”的变换：
题干含1的一些情况下，1=sin2﹢cos2=cos2（1﹢tan2）=tan=（sincos）2±2sincos
（5）和积互化：
题干含
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