三角函数届高三数学一轮复习讲义.docx

1、三角函数届高三数学一轮复习讲义专题4-1三角函数概念&基本关系&诱导公式三角函数的概念内容1、任意角、弧度制2、弧度与角度互化3、任意角的三角函数定义知识点1、任意角2、弧度制3、任意三角函数(1) 单位圆：x2+y2=1，即圆心在原点，半径r为1的圆中任意角终边与圆交于A(x,y)sin = = y；cos = = x；tan = ；ctan = ；(2) 终边相同的角具有相同的三角函数值(3) 三角函数的正负性1 sin = ，csc = ：一、二象限；三、四象限2 cos = ，sec = ：一、四象限；二、三象限3 tan = ，ctan = ：一、三象限；二、四象限(4) 三角函数增

2、减性：0,之间，sin ，cos ，tan ，ctan 例1 若tan 0，则( )A sin 2 0 B cos 0 C sin 0 D cos 2 0【答案】A【分析】 0，sin 与cos 同号【详解】方法一：A中sin 2 = 2 sin cos 0B、C中sin 与cos 同号，可正可负D中cos 2 = 2cos2 - 1 = 1 - 2sin2 与0的大小不能确定方法二：由tan 0知：为第一或三象限角，() 排除B、C2为第一或二象限角，2() sin 2 0，而cos 2与0的大小不确定故，选A例2 已知角的顶点与原点重合，始边在x轴正半轴上，终边过点P(- ,- )(1)

3、求sin( + )的值(2) 若角满足sin( + ) = ，求cos 的值【答案】(1) ；(2) 或【分析】(1) 确定象限角，利用诱导公式求值；(2) 应用两角差余弦公式【详解】(1) 终边过点P(- ,- )知：为第三象限角sin( + ) = - sin = (2) cos = cos( + - ) = cos( + ) cos + sin( + ) sin sin( + ) = 有cos( + ) = ，而cos = - cos = 或例3 已知角 = 的终边经过P(x,2)，则x的值为( )A 2 B 2 C - 2 D - 4【答案】C【分析】确定的象限，选择适当的三角函数求x

4、【详解】 = = + 2，即为第二象限角 x 0、cos 0、tan 0三象限：sin 0、cos 0故，选D方法二：sin = 、cos = - 、tan = - m = - 0例6 角终边在y = 2x上，则sin 的值为( )A - B C D 【答案】D【分析】终边在y = 2x上，说明可能在一或三象限【详解】 可能在一或三象限 sin 的值可正可负故，选D总结1、概念应用(1) 知角的终边上一点，求出点到原点距离，应用三角函数定义求解三角函数值(2) 若终边的点坐标含参，讨论参数确定三角函数值符号(3) 知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数定义求终边上的某点的坐标三角变换

5、公式内容1、同角三角函数基本关系2、单位圆中推导出 、 的三角函数的诱导公式知识点1tan = ，ctan = ，tan = 2sin2cos2 = 1；tan21 = sec2；ctan21 = csc23sin() = cos，cos() = sin4tan() = ctan，ctan() = tan角 + 2k，kZ + - - - + sinsin - sin - sin sin cos cos coscos - cos cos - cos sin - sin tantan tan - tan - tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限例7 ta

6、n = ，则cos2 + 2sin 2 = ( )A B C 1 D 【答案】A【分析】利用tan = 及cos2 + sin2 = 1求值【详解】tan = ，有sin = cos cos2 + sin2 = 1，则cos2 = cos2 + 2sin 2 = cos2 + 4 sin cos = 4 cos2 = 故，选A例8 函数f(x) = sin2 x + cos x - (x0,) 的最大值为( )【答案】1【分析】利用cos2 + sin2 = 1，换元将问题转化为求二次函数最大值，注意换元后定义域【详解】sin2 x = 1 - cos2 xf(x) = 1 - cos2 x

7、+ cos x - = - cos2 x + cos x + 由x0,知：令t = cos x 0,1g(t) = - t2 + t + = - (t - )2 + 1 gmax(t) = 1例9 平面直角坐标系中，角、始边在x轴正半轴上，终边关于y轴对称，sin = 则cos( - ) = _【答案】- 【分析】关于y轴对称判断、对应正余弦值的关系，利用两角差余弦公式化简求值【详解】、终边关于y轴对称且sin = ，知：sin = sin ，cos = - cos ，如下图示 cos( - ) = cos cos + sin sin = sin2 - cos2 = 2 sin2 - 1 =

8、- 例10 第四象限角且sin( + ) = 则tan( - ) = _【答案】- 【分析】 + = - + ，而为第四象限角则( + )在第一或四象限【详解】tan( - ) = = = - 由sin( + ) = 知：cos( + ) = tan( - ) = - 例11 已知sin(- ) = - ，0 ，则sin 2的值( )A - B - C D 【答案】B【分析】根据诱导公式得到cos ，结合0 确定的象限【详解】sin(- ) = - 知：cos = - 而0 为第二象限角，即sin = sin 2 = 2 sin cos = - 故，答案为B例12 已知为锐角，= ，则sin(

9、 + )的值( )A B C D 【答案】D【分析】化简，根据条件求出的三角函数值，sin( + )的两角和展开式求值【详解】= = = tan2 = 为锐角，有tan = ：sin = ，cos = sin( + ) = sin cos + cos sin = 例13 已知cos( - ) = - ，则sin( + ) =( )A B - C D - 【答案】D【分析】注意已知角与所求角的关系： + = + - 【详解】sin( + ) = cos( + - ) = cos( - ) = - 例14 已知0 x ，且sin x - cos x = ，则4 sin x cos x - cos2

10、 x的值_【答案】【分析】利用条件sin x - cos x = 与所求函数各项的联系，做相应变形得到各项的值【详解】(sin x - cos x)2 = 1 - 2 sin x cos x = ，有sin x cos x = sin x - cos x = sin (x - ) = ，有sin (x - ) = ，0 x cos (x - ) = 而2 sin (x - ) cos (x - ) = sin (2x - ) = - cos 2x = cos2 x = = 综上：4 sin x cos x - cos2 x = 例15 已知cos( - ) = ，则sin( + )的值_【答案

11、】- 【分析】cos( - )、sin( + )展开式中有共同部分(sin + )【详解】sin( + ) = sin( + + ) = - sin( + ) = - (sin cos + cos sin ) = - (sin + )而cos( - ) = cos cos + sin sin = sin + = sin( + ) = - 例16 已知cos(- ) = ，则cos( + ) - sin2( - ) =_【答案】- 【分析】( + ) = ( + + )、( - ) = ( + - )、(- ) = - ( + )，通过诱导公式得到( + )的三角函数【详解】cos( + ) =

12、 cos( + + ) = - sin( + )sin2( - ) = sin2( + - ) = - cos( + )2 = cos2( + )而cos(- ) = cos- ( + ) = sin( + ) = cos2( + ) = 即cos( + ) - sin2( - ) = - - = - 总结1、三角函数化简(1) 思路：分析结构，选择适当公式，利用公式化单角形式的三角函数，化简(2) 要求：结果中项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值要得到最终值(3) 弦切互化：题干含sin、cos、tan，利用tan = (4) “1”的变换：题干含1的一些情况下，1 = sin2cos2 = cos2(1tan2) = tan = (sincos)2 2sin cos(5) 和积互化：题干含