第三章杆件横截面上的应力应变分析Word下载.docx
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用完全相似的方法，还可讨论沿y和z方向的线应变。
弹性体的变形不但表现为线段长度的改变，而且正交线段的夹角也将发生变化，变形前MN
和ML正交，变形后变为/L/M/N/,变形前后角度的变化是〔n/2-ZL/M/N，〕。
当N和L趋于M点时，上述角度变化的极限值称为M点在xy平面内的切应变。
T，
■=〔n/2-ZL/M/N'
〕〔3-5〕
&
为无量纲量；
L的单位为rad〔弧度〕，它们是度量一点处变形程度的两个根本量。
构件是由无数的点组成的，各点处应变的累积将形成构件的变形。
三、虎克定律
由正应力、切应力、正应变与切应变的定义可以看出，与线应变&
相对应的应力是正应力6,
与切应变相对应的是切应力T。
试验说明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范围
内加载时〔应力小于某一极限值〕，假设所取微元只承受单方向正应力或只承受切应力，那么正
应力与线应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系：
6=E£
（3-6）t=G（3-7）其中，E和G为与材料有关的常数，分别称为弹性模量或杨氏模量和切变模量，其常用单位为吉帕〔Gpa〕,1Gpa=109pa。
上两式均称为虎克定律。
第二节直杆轴向拉压变形时横截面上的正应力
一、横截面上的正应力公式推导
由于应力是不可见的，而应变却是可见的，而且两者之间存在着关系，如式〔3-6〕，〔3-7〕。
因此为了推导杆件横截面上的应力，必须分析杆件的变形。
变形前，在等直杆的侧面上画一
些垂直于杆轴的直线〔图3-3a〕。
拉伸变形后，发现这些直线仍然垂直于轴线，只是分别平移了一段距离〔图3-3b〕。
根据这一现象，可以提出平截面假设：
变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
根据平截面假设，拉杆所有纵向纤维的伸长是相同的。
由均匀性假设可知，材料是均匀的，所以纵向纤维的受力是相等的。
从而推得，横截面上各点的正应力也是相等的，即正应力均匀分布于横截面上，所以
亠〔3-8〕
式中二为轴向拉压杆横截面上的正应力，一般规定拉应力为正，压应力为负；
FN为横截
面上的内力；
A为横截面的面积。
另外根据平截面假设可知横截面上不存在切应力。
虽然上述公式也可应用于FN为压力时的压应力计算，但要注意对于细长压杆受压时容易被压弯，属于稳定性问题，这一内容将在后面专门研究，因此这里所指的是受压杆未被压弯
的情况。
公式同样适用于杆件横截面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆，这时式〔3-8〕为
（3-9）
式中b〔x〕、Fn〔x〕、A〔x〕都是横截面位置x的函数。
在用公式〔3-8〕计算杆件横截面上的应力时，其轴力的大小往往仅取决于物体所受外力合力的大小，而很少考虑外力的分布方式。
事实上，不同的外力作用方式对外力作用点附近
区域内的应力分布有着很大的影响，至于该影响到底有多大，可由圣维南原理加以说明。
圣维南原理：
将原力系用静力等效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的应力分布有明
显影响外，在离力系作用区域略远处〔距离约等于截面尺寸〕，该影响就非常微小。
根据这一原理，杆件上复杂的外力系就可以用简单的力系取代。
在离外力作用截面略远处，
仍然可用公式〔3-8〕计算应力。
二、应力集中的概念
由圣维南原理可知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在离开外力作用处足够远的横截面上的正应力是均匀分布的。
但是，如果杆截面尺寸有突然变化，如杆上有孔洞、沟槽或制成阶梯
形时，截面突变处局部区域的应力将急剧的增大〔图3-4〕。
这种现象称为应力集中。
亠亠*尸亠〞>
jnhl菲
F、FF
ct）b）c）
B3-4
理论应力集中系数与杆件的材料无关，它反映了应力集中的程度。
实验及理论分析说明，截面尺寸改变愈急剧、孔愈小、圆角愈小，应力集中的程度就愈严重，因此在工程实际中要
尽可能的防止这些情况。
例3-1等截面直杆，Fi=iOkN，F2=40kN，F3=50kN，F4=20kN，截面直径d=16mm〔图3-5。
试求杆内的最大应力
解
（1）求各段的轴力。
用截面法，可以求出杆三段的轴力，其大小及方向见图3-5。
解分析可知，杆的内力是由其自重引起的，故杆的不同截面上的内力不同，是截面位置的函数Fn=Fn（x）。
在距离杆下端为任意位置x处，运用截面法将杆件沿x截开，取下面一部
分为研究对象，脱离体的受力图见3-6b。
由平衡条件|得：
%〔工〕一〔工忙卫〕烤=60<
7
心0〕■初r
谕面处的正应环垃〕■警•竽
当厂二J时！
W〕=%二甸
第三节圆轴扭转时横截面上的切应力
一、实验现象和平面假设
为了确定圆轴扭转时横截面上的应力，同样必须要研究圆轴的变形，也就是说要对圆轴进行扭转变形试验，把观察到的变形现象进行分析，提出一些假设，从而进一步寻找变形的几何关系，再综合考虑物理和静力学方面，最后才能导出应力公式。
为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴外表上画上几条纵向线和圆周线〔图3-7a〕。
然后施加外
力偶矩，使圆轴发生微小的弹性变形〔图3-7b〕。
这时可以看到以下变形现象：
1.所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了同一角度，变形前圆周外表上的小矩形，变形后错动成菱形。
2.所有圆周线都相对地绕轴线转过了不同角度，且圆周线的大小、形状及其相互之间的距离均保持不变。
根据观察到的现象，作如下假设：
圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小相同的平面，其半径仍保持为直线；
且相邻两横截面之间的距离不变。
这就是圆轴扭转的平面假设。
按照这一假设，可设想圆轴的横截面就像刚性平面一样绕轴线转过了一定的角度。
以平面假
设为根底导出的圆轴扭转的应力和变形计算公式，符合实验结果，且与弹性力学公式一致，从而说明该平面假设是正确的。
根据平面假设，既然圆轴横截面的形状、大小及其相互之间
的距离在变形后保持不变，说明圆轴无轴向线应变和横向线应变，因而可认为扭转圆轴横截
面上无正应力，只可能存在切应力。
同时由于圆轴的相对转动引起纵向线的倾斜，倾斜的角
度就是圆轴外表处的切应变。
二、横截面上的切应力计算公式推导
1.几何方面
从图3-7b所示受扭圆轴中取dx微段并放大于图3-8a中,再从所取微段中任取半径为二的圆柱〔图3-8b〕。
横截面nn相对于mm转过的角度一,’，称为相对扭转角。
以门为半径的圆柱外表处的切应变用•J表示。
因为变形很小，故由图3-8b可知：
（a）
式中」-7dx表示扭转角沿轴线长度方向的变化率，在同一截面上它为一常数。
所以切应变与「成正比。
2.物理关系
设圆轴服从虎克定律。
那么由剪切虎克定律〔3-7〕可知，半径处的切应力为：
〔b〕
上式说明，横截面上任一点的切应力"
与该点到圆心的距离-■■成正比。
由于■'
与半径垂
直，所以切应力：
匸也与半径垂直。
3.静力学关系
由于式〔b〕中:
寫7dx未知，故必须利用静力学关系式求取。
考察微面积-d〔A〕上的微切力，
如图3-9所示。
它对圆心0的微内力矩为L打其合力矩即为该截面上的内力
Mx〔由平衡条件可知：
M〔x〕=T〕。
所以
（c）
将式〔b〕代入上式，那么有
（d）
式中
它描述截面的一种几何性质，其常用单位为mm4或m4。
由〔b〕、〔d〕两式可得圆轴横截面上任一点的切应力为血〕=鉴P
，称为圆截面对圆心的极惯性矩，是与圆截面的大小及形状有关的几何量,
与〔3-10〕
式中Mx为所求横截面上的扭矩，Ip为截面极惯性矩，F为所求点到圆心的距离。
公式说明,
Mx是常数，Ip也是确定的，r=0，在圆轴外表处，t=t
距圆心为「的一点处的切应力，与该点到圆心的距离成正比，与横截面上的扭矩成正比，与该截面对的极惯性矩成反比。
对某一横截面而言，其上的扭矩故该横截面上的切应力仅仅是「的线性函数。
显然，在圆心处，max，且
（e）
其中，和均为几何量，令
a）
要运用以上公式计算横截面上的切应力大小，必须先计算截面的极惯性矩
Ip和抗扭截面模量Wp。
对于直径为D的实心圆截面〔图3-11〕，取-円：
三山代入-[.可得
图El
（3-14）
wp=i（r*-d4>
=—（i-^>
1-（3-15）
3-10b所示。
当内、外径
其中，二=d/D为截面内、外径之比。
受扭空心圆截面上切应力分布规律如图公式（3-10）可适用于任何实心或空心圆截面的受扭圆轴。
假设对于空心圆截面，非常接近，特别是当时，空心圆轴可视为薄壁圆筒（图3-13）。
A
67二
r
因为薄壁圆筒的壁很薄，故可认为横截面上的切应力均匀分布，此时
lp-Jp2dAkTeR^-2tiR.〔j£
-
横截面上的切应力为
_V"
耐〔3-16〕
式中Ro为薄壁圆截面的平均半径，呂为壁厚，该公式可适用于任何受扭的闭合薄壁杆。
三、切应力互等定理〔纯剪切〕
在图3-14a所示受扭圆轴中，A为圆轴外表处的任意一点。
用四个平面和一个圆柱面围绕
A点切出一瓦片状微块体〔图3-14b〕。
因微块体尺寸很小，故可视为边长为dx、dy、dz
的正六面体〔图3-14c〕，即单元体。
图3-14
因为单元体的左右两侧面是圆轴的局部横截面，所以这两个侧面上有切应力，且左侧面切
应力匸方向向上，右侧面匸的方向向下。
这一对王在单元体左右两侧面上的合力…组成一力偶，大小为。
为使单元体保持平衡，必有另一等值反向的力偶作用在单元体上。
因此，单元体的上下侧面上必存在切应力，它们的合力组成力偶，并与力偶-
平衡，即
〔认血dz〕dy=
从而
由此可见，在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必成对存在，其数值相等，
其方向或同时指向交线，或同时背离交线。
这一规律称为切应力互等定理。
该定理具有普遍
意义，即任何两个相互垂直的平面，只要一个面上有垂直于两平面交线的切应力，而不管该
平面上是否同时存在正应力，另一个面上也必有切应力存在，其大小和方向均符合切应力互
等定理的规定；
反之，一个面上没有垂直于两平面交线的切应力，另一面上也没有相应的切
应力。
图3-14C所示单元体，四个侧面上均只有切应力而无正应力。
单元体的这种应力情况称为纯剪切应力状态，简称纯剪切。
由于单元体的前后面上均没有应力，因此为方便起见，A点的
纯剪切应力状态通常画成图3-14d所示的平面形式。
圆扭转时横截面上的应力状态均为纯剪
切应力状态。
例3-3一直径为D=50伽的圆轴，受到扭矩Mx=2.15kNm的作用。
试求在距离轴心10伽
处的切应力，并求轴横截面上的最大切应力。
解首先求截面的极惯性矩
Ip=lT=—32—口=6.133x10-^*
根据公式〔3-10〕有
fi.l33〕cl0_7
Wp6133^1/25x10_3=
例3-4如将上题中轴的实心圆截面改为内、外径之比为1:
2的空心圆截面，要使两种情况
产生相同的最大切应力，求此时空心截面的外径，并比拟实心轴和空心轴的重量。
解由上题求得实心圆截面“uT-Td。
设空心圆截面的内、外径分别为d和D,二■
=d/D=1/2，此时横截面上最大切应力为
也:
工口=
叫215mID3
%卓小〕。
16Pa,
根据题意必须有二空二=1工工，从而可求得。
在两轴长度相等、材料相同的条件下，两轴重量之比等于横截面面积之比:
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量只有实心轴的80%，说明空心截面比实心节省材
料。
如果将空心截面改为薄壁截面，可以发现节省材料更为明显。
第四节矩形截面杆扭转时横截面上的切应力
一、非圆截面杆扭转的概念
上一节讨论了圆形截面杆的扭转，但有些受扭杆件的横截面并非圆形。
例如曲轴的曲柄承受扭转，而其横截面是矩形的。
试验说明，非圆截面杆受扭转时横截面将成为曲面，产生所
谓翘曲现象，如图3-15所示矩形截面杆的扭转。
所以对于非圆截面杆，平面假设不再成立，
非圆截面杆的扭转问题只能用弹性力学
根据平面假设所建立的扭转应力公式显然不再适用。
的方法去研究。
E3-15
非圆截面杆的扭转分为自由扭转〔纯扭转〕和约束扭转两种。
等直杆受力偶作用发生扭转
时，假设各横截面可以自由翘曲，因而翘曲程度相同，此时杆的横截面上只有切应力而无正应
力，这种扭转称为自由扭转。
假设横截面的翘曲受到某些限制，引起横截面的翘曲程度不同，这种情况将在横截面引起正应力，即横截面上既有切应力，又有正应力，这一种扭转称为约
束扭转。
对实心的矩形等截面直杆，约束扭转引起的正应力通常很小，可忽略不计。
但对于
工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转引起的正应力往往很大，需要考虑其影响。
可以证明，杆件扭转时，横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切。
因为边缘各点的
切应力如不与边界相切，总可分解为边界切线方向的分量下和法线方向的分量〔图3-16〕o
根据切应力互等定理，I应与杆件自由外表上的切应力「相等。
但在自由外表上不可能有切
因此在边缘各点就只可能有沿边界切线方向的切应力I。
在横截面的凸角处，根据以
上类似的分析可知，切应力为零二、矩形截面杆扭转切应力计算简介
对于矩形截面杆扭转的切应力，这里不加推导地引用一些弹性力学的研究结果。
1.切应力的方向。
周边处的切应力与周边平行；
对称轴处的切应力与对称轴垂直〔图3-17〕
2.切应力大小。
在矩形截面的四个角点A、B、C、D和矩形中心0处的切应力均为零，切
应力的最大值在矩形长边的中点，且按以下公式计算：
……一（3-17）
在横截面短边中点处，切应力为：
（3-18）
上两式中口、j是一个与比值h/b有关的系数，其数值见表3-1。
表矩砸截而杆扭转时的系S、戸和卩
hfb
1,0
152
.025
10
80100g
a
020S
a.231
0Jt57
□.282
0141
o
01960.229
0.2^3
V
1000
0.3580.7Pfl
0,753
0.745
0,743
0.74307430743
当:
：
-U时，截面成为狭长矩形，这时“心山。
表中的宀值是计算矩形截面杆的相对扭转角时用的，这将在后面的章节中讨论。
例3-5某矩形截面轴，截面高h=100mm，宽b=45mm，传递的扭转力偶矩T=2kNm。
试求矩形截面轴的最大切应力。
解因为h/b=100/45=2.2,从表中查得h/b=2.0时，二=0.246；
h/b=2.5时,，用线性插入法求得
心=0.246+（0,25*-0.2⑥汽峯二黑=
2d—
该截面的扭矩「；
1，于是，求得矩性截面轴的最大切应力为
型兀C.2J1^45axiOOxia-
TnuK=
第五节梁平面弯曲时横截面上的正应力
一、纯弯曲
上一章详细讨论了梁横截面上的剪力和弯矩。
一般情况下，这两种内力同时存在。
很显然，
弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；
剪力是相切于横截面的内力系的合力。
所以，弯矩M只与横截面上的正应力•「有关，而剪力
只与横截面上的切应力丁有关。
本节研究相应于弯矩和剪力的正应力h和切应力匸的分布规
律。
首先考察图3-18a所示的矩形截面简支梁。
梁上有两个外力F对称地作用于梁的纵向对称面内。
其计算简图、剪力图和弯矩图分别表示于图3-18b、c、和d中。
由图可见，在梁的AC
和DB两段内，梁横截面上既有弯矩又有剪力，因而同时存在正应力和切应力。
这种情况称为横力弯曲。
在CD段内，梁横截面上剪力为零，弯矩为常数，从而梁的横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。
由于梁横截面上应力分布各点不同，所以应力计算公式推导过程与圆轴扭转时应力公式的推导一样，需综合考虑几何、物理和静力学三个方面的关系。
为此，先来观察一下纯弯曲时梁
的变形情况，并根据变形情况作出分析和假设。
1实验观察
考虑具有纵向对称面的等直梁，在梁侧面画上几条纵向线和横向线〔图3-19a〕，然后在梁
的两端施加力偶矩M,使梁产生微小弯曲变形〔图3-19b〕，可观察到以下变形现象：
513-19
纵向线都弯成弧线，且梁上部纵向线缩短，下部伸长。
横向线仍为直线，但相对转过了一个角度，且仍与纵向线正交。
2•假设和结论
根据上述变形现象，经过分析和推理，作如下平面假设：
变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍与变形后的轴线正交。
设想梁由无数平行于轴线的“纵向纤维〞组成。
发生弯曲变形后，假定轴线发生如图3-20所示凸向下的弯曲，那么必然要引起靠近底面的纤维伸长，靠近顶面的纤维缩短。
又因为横截面保持为平面，所以沿截面高度，纤维应由底面的伸长连续地变为顶面的缩短，中间必然有一层纤维的长度不变。
这一层称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴，显然横截面绕中性轴转动。
除了平面假设以外，我们还假定梁的纵向纤维间无挤压，也即纵向纤维间无正应力。
在纯弯曲情况下，由于横截面保持为平面，且处处与纵向线正交，说明横截面各点处无切应变，也就不存在切应力，横截面上只可能有正应力。
根据以上假设得到的理论结果，在长期工程实践中，符合实际情况，与弹性力学的结果也一致。
二、纯弯曲时的正应力计算公式推导1.几何关系
设从纯弯曲梁中沿轴线取dx的微段，放大画于图3-21。
设」为中性层曲率半径，对某一截
面而言，「为常量；
为左右两横截面的相对转角。
又设横截面的对称轴为y轴，中性轴
为z轴〔图3-22〕。
距离中性轴为y的任一纤维，变形前长为=dx=，变形后
长为=〔」+y〕“J，所以』的线应变为
（a）
pde
图3-21
上式说明，距中性层为y的任一纵向纤维的线应变，与y成正比，与「成反比。
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。
当应力小于比例极限时，由虎
克定律知
口=Ee
将式〔a〕代入上式，得
〞岸
Q〔b〕
这说明，任一纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。
也就是说沿截面高度，正应力
按直线规律变化。
3•静力学关系
图3-22中，微面积dA上的微内力二〕'
组成一与梁轴线平行的空间平行力系。
因横截面
上只有弯矩M，故
图3土22
将式〔b〕代入式〔c〕,得
匚口dA=—ydA=0
将式〔b〕代入式〔d〕得
式中积分［丿“门'
是横截面对y轴和z轴的惯性积。
由于y轴是横截面的对称轴，必
然有Iyz=0。
所以〔d〕式是自然满足的。
将式〔b〕代入式〔e〕，得
M=\AycdA=
式中积分［J"
■是横截面对z轴〔中性轴〕的惯性矩，关于各种截面Iz的计算详见附录I于是上式可以写成
Elz越大，那么曲率11-越小,
其中1/二为梁轴线变形后的曲率，反映梁弯曲变形的程度，而且故Elz称为梁的抗弯刚度。
由式〔f〕和式〔b〕消去1P，得
k〔3-19〕
这就是梁纯弯曲时横截面上的正应力计算公式。
对某一截面而言，M和lz都是确定的，当
横截面上的弯矩为正时，：
r〔y〕沿截面高度的线性分布规律如图3-23所示。
图3-23
在用公式计算任一点的正应力时，可以不考虑M以及离中性轴的距离y的正负，一律以
绝对值代入。
正应力的正负由梁的变形判定：
梁的纵向纤维受压时，正应力为负〔压应力〕
纤维受拉时，正应力为正〔拉应力〕。
也可以由弯矩的正负来判定正应力的正负：
为正,
说明梁的下边纤维受拉，故中性轴以下局部均为正的正应力，而中性轴以上局部均为负的正
应力；
M为负时，应力正负号那么相反。
公式是在矩形截面梁的情况下进行推导的，但推导过程并未使用任何关于矩形的几何性质，所以只要梁有一纵向面，且载荷作用在这个平面内，公式就可适用。
由正应力计算公式可知，某一横截面上的最大应力发生在距离中性轴的最远处，即
MM
-—九＜-—
〔3-20〕
其中,J—淋为截面系数或抗弯截面模量。
对实心矩形截面〔图3-24〕
^3-24
对于实心圆截面（图3-24）
有关型钢的相关数据可查附录n。
例3-6把直径为d=1mm的钢丝绕在直径为2m的卷筒上，试计算钢丝中产生的最大应力。
设E=200GPa。
解取钢丝作为研究对象，由纯弯曲正应力的推导过程可知，钢丝中的最大正应力发生在钢丝横截面的最外侧。
此时，钢丝横截面的中性轴曲率半径为，故
j=E=2O0=tio5*X=lOOMFaL
第六节梁横力弯曲时截面上的应力
一、横力弯曲时横截面上的正应力
梁在横力弯曲时，横截面上不仅有弯矩而且有剪力。
弯矩为横截面上法
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