第三章杆件横截面上的应力应变分析Word下载.docx

1、用完全相似的方法，还可 讨论沿y和z方向的线应变。弹性体的变形不但表现为线段长度的改变， 而且正交线段的夹角也将发生变化， 变形前MN和ML正交，变形后变为/ L / M / N /,变形前后角度的变化是n /2-Z L / M / N，。当N和L趋于M点时，上述角度变化的极限值称为 M点在xy平面内的切应变。T，= n /2-Z L / M / N 3-5&为无量纲量；L的单位为rad 弧度，它们是度量一点处变形程度的两个根本量。构件 是由无数的点组成的，各点处应变的累积将形成构件的变形。三、虎克定律由正应力、切应力、正应变与切应变的定义可以看出， 与线应变&相对应的应力是正应力6,与切应变

2、 相对应的是切应力T。试验说明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范围内加载时应力小于某一极限值， 假设所取微元只承受单方向正应力或只承受切应力， 那么正应力与线应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系：6 =E （3-6） t =G （3-7） 其中，E和G为与材料有关的常数，分别称为弹性模量或杨氏模量和切变模量，其常用单 位为吉帕Gpa ,1Gpa= 109pa。上两式均称为虎克定律。第二节 直杆轴向拉压变形时横截面上的正应力一、横截面上的正应力公式推导由于应力是不可见的， 而应变却是可见的，而且两者之间存在着关系， 如式3-6， 3-7。因此为了推导杆件横截面上的应力， 必须分析杆件的

3、变形。变形前，在等直杆的侧面上画一些垂直于杆轴的直线图 3-3a。拉伸变形后，发现这些直线仍然垂直于轴线，只是分别平 移了一段距离图3-3b。根据这一现象，可以提出平截面假设：变形前为平面的横截面， 变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。根据平截面假设，拉杆所有纵向纤维的伸长是相同的。 由均匀性假设可知，材料是均匀的， 所以纵向纤维的受力是相等的。从而推得，横截面上各点的正应力也是相等的， 即正应力均 匀分布于横截面上，所以亠 3-8式中二为轴向拉压杆横截面上的正应力，一般规定拉应力为正，压应力为负； FN为横截面上的内力；A为横截面的面积。另外根据平截面假设可知横截面上不存在切应力。虽然上述公式

4、也可应用于 FN为压力时的压应力计算，但要注意对于细长压杆受压时容易 被压弯，属于稳定性问题，这一内容将在后面专门研究， 因此这里所指的是受压杆未被压弯的情况。公式同样适用于杆件横截面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆，这时式 3-8为（3-9）式中b x、Fnx、Ax都是横截面位置 x的函数。在用公式3-8计算杆件横截面上的应力时，其轴力的大小往往仅取决于物体所受外力 合力的大小，而很少考虑外力的分布方式。 事实上，不同的外力作用方式对外力作用点附近区域内的应力分布有着很大的影响，至于该影响到底有多大，可由圣维南原理加以说明。圣维南原理：将原力系用静力等效的新力系来替代， 除了对原力系作用附近的

5、应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略远处距离约等于截面尺寸，该影响就非常微小。根据这一原理，杆件上复杂的外力系就可以用简单的力系取代。在离外力作用截面略远处，仍然可用公式3-8计算应力。二、应力集中的概念由圣维南原理可知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在离开外力作用处足够远的横截面上的 正应力是均匀分布的。但是，如果杆截面尺寸有突然变化，如杆上有孔洞、 沟槽或制成阶梯形时，截面突变处局部区域的应力将急剧的增大图 3-4。这种现象称为应力集中。亠亠*尸亠 j n hl 菲F 、F Fct ） b ） c ）B3-4理论应力集中系数与杆件的材料无关，它反映了应力集中的程度。实验及理论分析说明， 截

6、面尺寸改变愈急剧、孔愈小、 圆角愈小，应力集中的程度就愈严重， 因此在工程实际中要尽可能的防止这些情况。例 3-1 等截面直杆， Fi=iOkN，F2=40kN，F3=50kN，F4=20kN，截面直径 d=16mm 图 3-5。试求杆内的最大应力解（1）求各段的轴力。用截面法，可以求出杆三段的轴力，其大小及方向见图 3-5。解 分析可知，杆的内力是由其自重引起的，故杆的不同截面上的内力不同，是截面位置的 函数Fn=Fn（x）。在距离杆下端为任意位置 x处，运用截面法将杆件沿 x截开，取下面一部分为研究对象，脱离体的受力图见 3-6b。由平衡条件|得：%工一工忙卫烤=6 0 =（i-1 - （

7、3-15）3-10b所示。当内、外径其中，二=d/D为截面内、外径之比。受扭空心圆截面上切应力分布规律如图 公式（3-10）可适用于任何实心或空心圆截面的受扭圆轴。假设对于空心圆截面， 非常接近，特别是当 时，空心圆轴可视为薄壁圆筒（图 3-13）。A6 7二r因为薄壁圆筒的壁很薄，故可认为横截面上的切应力均匀分布，此时lp - J p2dAk T eR -2tiR.j -横截面上的切应力为_V 耐3-16式中Ro为薄壁圆截面的平均半径，呂为壁厚，该公式可适用于任何受扭的闭合薄壁杆。三、切应力互等定理纯剪切在图3-14a所示受扭圆轴中，A为圆轴外表处的任意一点。用四个平面和一个圆柱面围绕A点切

8、出一瓦片状微块体图 3-14b 。因微块体尺寸很小，故可视为边长为 dx、dy、dz的正六面体图 3-14c，即单元体。图 3-14因为单元体的左右两侧面是圆轴的局部横截面， 所以这两个侧面上有切应力，且左侧面切应力匸方向向上，右侧面匸的方向向下。这一对王在单元体左右两侧面上的合力 组成一 力偶，大小为 。为使单元体保持平衡，必有另一等值反向的力偶作用在单元体上。因此，单元体的上下侧面上必存在切应力 ，它们的合力 组成力偶，并与力偶-平衡，即认血dzdy =从而由此可见，在两个相互垂直的平面上， 垂直于两平面交线的切应力必成对存在， 其数值相等，其方向或同时指向交线， 或同时背离交线。这一规律

9、称为切应力互等定理。 该定理具有普遍意义，即任何两个相互垂直的平面，只要一个面上有垂直于两平面交线的切应力， 而不管该平面上是否同时存在正应力，另一个面上也必有切应力存在， 其大小和方向均符合切应力互等定理的规定；反之，一个面上没有垂直于两平面交线的切应力， 另一面上也没有相应的切应力。图3-14C所示单元体，四个侧面上均只有切应力而无正应力。单元体的这种应力情况称为纯 剪切应力状态，简称纯剪切。由于单元体的前后面上均没有应力，因此为方便起见， A点的纯剪切应力状态通常画成图 3-14d所示的平面形式。圆扭转时横截面上的应力状态均为纯剪切应力状态。例3-3 一直径为D=50伽的圆轴，受到扭矩

10、Mx=2.15kNm 的作用。试求在距离轴心 10伽处的切应力，并求轴横截面上的最大切应力。解首先求截面的极惯性矩Ip = lT = 32口 = 6.133x10-*根据公式3-10 有fi.l33cl0_7Wp 6 1331 /25x 10_3 = 例3-4如将上题中轴的实心圆截面改为内、外径之比为 1 : 2的空心圆截面，要使两种情况产生相同的最大切应力，求此时空心截面的外径，并比拟实心轴和空心轴的重量。解 由上题求得实心圆截面 “u T-Td。设空心圆截面的内、外径分别为 d和D,二=d/D=1/2，此时横截面上最大切应力为也:工口 =叫 215m ID3%卓小。16 Pa ,根据题意必

11、须有二空二=1工工，从而可求得 。在两轴长度相等、材料相同的条件下，两轴重量之比等于横截面面积之比:可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量只有实心轴的 80%，说明空心截面比实心节省材料。如果将空心截面改为薄壁截面，可以发现节省材料更为明显。第四节 矩形截面杆扭转时横截面上的切应力一、非圆截面杆扭转的概念上一节讨论了圆形截面杆的扭转，但有些受扭杆件的横截面并非圆形。例如曲轴的曲柄承 受扭转，而其横截面是矩形的。 试验说明，非圆截面杆受扭转时横截面将成为曲面，产生所谓翘曲现象，如图3-15所示矩形截面杆的扭转。所以对于非圆截面杆，平面假设不再成立，非圆截面杆的扭转问题只能用弹性力学根据平面假设所建

12、立的扭转应力公式显然不再适用。 的方法去研究。E3-15非圆截面杆的扭转分为自由扭转 纯扭转和约束扭转两种。等直杆受力偶作用发生扭转时，假设各横截面可以自由翘曲， 因而翘曲程度相同，此时杆的横截面上只有切应力而无正应力，这种扭转称为自由扭转。假设横截面的翘曲受到某些限制，引起横截面的翘曲程度不同， 这种情况将在横截面引起正应力， 即横截面上既有切应力， 又有正应力，这一种扭转称为约束扭转。对实心的矩形等截面直杆， 约束扭转引起的正应力通常很小， 可忽略不计。但对于工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转引起的正应力往往很大，需要考虑其影响。可以证明，杆件扭转时，横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切

13、。 因为边缘各点的切应力如不与边界相切， 总可分解为边界切线方向的分量 下和法线方向的分量 图3-16o根据切应力互等定理，I应与杆件自由外表上的切应力 相等。但在自由外表上不可能有切因此在边缘各点就只可能有沿边界切线方向的切应力 I。在横截面的凸角处，根据以上类似的分析可知，切应力为零 二、矩形截面杆扭转切应力计算简介对于矩形截面杆扭转的切应力，这里不加推导地引用一些弹性力学的研究结果。1.切应力的方向。周边处的切应力与周边平行；对称轴处的切应力与对称轴垂直图3-172.切应力大小。在矩形截面的四个角点 A、B、C、D和矩形中心0处的切应力均为零，切应力的最大值在矩形长边的中点，且按以下公式

14、计算：一 （3-17）在横截面短边中点处，切应力为：（3-18）上两式中口、j是一个与比值h/b有关的系数，其数值见表 3-1。表矩砸截而杆扭转时的系 S、戸和卩hfb1,01 5 2.0 25108 0 10 0 ga0 20Sa. 231 0Jt57.2820 141o0 196 0.229 0.23V1 0000.358 0.7 P fl 0,7530.74 50,74 30.743 0 743 0 743当:：-U时，截面成为狭长矩形，这时“心山。表中的宀值是计算矩形截面杆的相对扭 转角时用的，这将在后面的章节中讨论。例3-5某矩形截面轴，截面高 h=100mm，宽b=45mm，传递的

15、扭转力偶矩 T=2kNm。试求矩形截面轴的最大切应力。解 因为 h/b=100/45=2.2,从表中查得 h/b=2.0 时，二=0.246 ； h/b=2.5 时,，用线性插 入法求得心=0.246+（0,25* - 0.2 汽峯二黑=2d 该截面的扭矩； 1，于是，求得矩性截面轴的最大切应力为型兀 C.2J145axiOOxia-TnuK =第五节 梁平面弯曲时横截面上的正应力一、纯弯曲上一章详细讨论了梁横截面上的剪力和弯矩。一般情况下，这两种内力同时存在。很显然，弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；剪力是相切于横截面的内力系的合力。 所以，弯矩M只与横截面上的正应力有关，而剪力只与横截

16、面上的切应力 丁有关。本节研究相应于弯矩和剪力的正应力 h和切应力匸的分布规律。首先考察图3-18a所示的矩形截面简支梁。 梁上有两个外力F对称地作用于梁的纵向对称面 内。其计算简图、剪力图和弯矩图分别表示于图 3-18b、c、和d中。由图可见，在梁的 AC和DB两段内，梁横截面上既有弯矩又有剪力，因而同时存在正应力和切应力。这种情况称 为横力弯曲。在CD段内，梁横截面上剪力为零，弯矩为常数，从而梁的横截面上就只有正 应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。由于梁横截面上应力分布各点不同，所以应力计算公式推导过程与圆轴扭转时应力公式的推 导一样，需综合考虑几何、物理和静力学三个方面的关系。为此，

17、先来观察一下纯弯曲时梁的变形情况，并根据变形情况作出分析和假设。1实验观察考虑具有纵向对称面的等直梁，在梁侧面画上几条纵向线和横向线图 3-19a，然后在梁的两端施加力偶矩 M,使梁产生微小弯曲变形图 3-19b，可观察到以下变形现象：513-19纵向线都弯成弧线， 且梁上部纵向线缩短，下部伸长。横向线仍为直线，但相对转过了一个 角度，且仍与纵向线正交。2 假设和结论根据上述变形现象， 经过分析和推理，作如下平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为 平面，且仍与变形后的轴线正交。设想梁由无数平行于轴线的“纵向纤维组成。发生弯曲变形后，假定轴线发生如图 3-20 所示凸向下的弯曲，那么必然要引

18、起靠近底面的纤维伸长， 靠近顶面的纤维缩短。 又因为横截 面保持为平面，所以沿截面高度，纤维应由底面的伸长连续地变为顶面的缩短， 中间必然有 一层纤维的长度不变。 这一层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴， 显然横截面 绕中性轴转动。除了平面假设以外，我们还假定梁的纵向纤维间无挤压，也即纵向纤维间无正应力。在纯弯曲情况下，由于横截面保持为平面，且处处与纵向线正交，说明横截面各点处无切应 变，也就不存在切应力， 横截面上只可能有正应力。根据以上假设得到的理论结果，在长期 工程实践中，符合实际情况，与弹性力学的结果也一致。二、纯弯曲时的正应力计算公式推导 1 .几何关系设从纯弯曲梁中沿轴线

19、取 dx的微段，放大画于图 3-21。设为中性层曲率半径，对某一截面而言，为常量；为左右两横截面的相对转角。又设横截面的对称轴为 y轴，中性轴为z轴图3-22。距离中性轴为 y的任一纤维 ，变形前长为 =dx= ，变形后长为=+y“ J，所以的线应变为（a）pde图 3-21上式说明，距中性层为 y的任一纵向纤维的线应变，与 y成正比，与成反比。因为纵向纤维之间无正应力， 每一纤维都是单向拉伸或压缩。 当应力小于比例极限时， 由虎克定律知口= Ee将式a代入上式，得岸Q b这说明，任一纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。 也就是说沿截面高度， 正应力按直线规律变化。3静力学关系图3-22

20、中，微面积dA上的微内力二组成一与梁轴线平行的空间平行力系。 因横截面上只有弯矩M，故图 3 土22将式b代入式c,得匚 口 dA = ydA = 0将式b代入式d得式中积分丿“门 是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于 y轴是横截面的对称轴，必然有Iyz=0。所以d式是自然满足的。将式b代入式e，得M = AycdA =式中积分J 是横截面对z轴中性轴的惯性矩，关于各种截面Iz的计算详见附 录I于是上式可以写成Elz越大，那么曲率11-越小,其中1/二为梁轴线变形后的曲率，反映梁弯曲变形的程度，而且 故Elz称为梁的抗弯刚度。由式f和式b消去1P，得k 3-19这就是梁纯弯曲时横截面上的正应力计

21、算公式。对某一截面而言， M和lz都是确定的，当横截面上的弯矩为正时，：ry沿截面高度的线性分布规律如图 3-23所示。图 3-23在用公式计算任一点的正应力时，可以不考虑 M以及离中性轴的距离 y的正负，一律以绝对值代入。正应力的正负由梁的变形判定： 梁的纵向纤维受压时，正应力为负压应力纤维受拉时，正应力为正拉应力。也可以由弯矩的正负来判定正应力的正负： 为正,说明梁的下边纤维受拉， 故中性轴以下局部均为正的正应力， 而中性轴以上局部均为负的正应力；M为负时，应力正负号那么相反。公式是在矩形截面梁的情况下进行推导的，但推导过程并未使用任何关于矩形的几何性 质，所以只要梁有一纵向面，且载荷作用

22、在这个平面内，公式就可适用。由正应力计算公式可知，某一横截面上的最大应力发生在距离中性轴的最远处，即M M-九 -3-20其中,J 淋为截面系数或抗弯截面模量。对实心矩形截面图 3-243-24对于实心圆截面（图 3-24 ）有关型钢的相关数据可查附录n。例3-6把直径为d=1mm的钢丝绕在直径为 2m的卷筒上，试计算钢丝中产生的最大应力。 设 E=200GPa。解 取钢丝作为研究对象，由纯弯曲正应力的推导过程可知，钢丝中的最大正应力发生在 钢丝横截面的最外侧。此时，钢丝横截面的中性轴曲率半径为 ，故j = E = 2O0=t io5* X = lOOMFaL第六节 梁横力弯曲时截面上的应力一、横力弯曲时横截面上的正应力梁在横力弯曲时，横截面上不仅有弯矩而且有剪力。 弯矩为横截面上法