北师大八年级下册第六章平行四边形证明题专项练习包含答案Word格式文档下载.docx
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9.
如图,四边形ABCD是平行四边形,直线EF∥BD,与CD、CB的延长线分别交于点E、F,与AB、AD交于点G、H.
10.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°
EF=DC.
四边形EFCD是平行四边形;
（2）若BF=EF求,证:
AE=AD.
11.如图①,已知在△ABC中,AB=AC点,P为底边BC上（端点B、C除外）的任意一点,且PE∥AC,PF∥AB.
（1）线段PE、PF、AB之间有什么数量关系?
并说明理由;
（2）如图②,将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”,其他条件不变,上述结论还成立吗?
如果不成立,你能得出什么结论?
请说明你的理由.
12.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°
13.如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°
M、N分别是AD、BC的中点,BC=2CD.
四边形MNCD是平行四边形;
（2）求证:
BD=3MN.
14.如图,已知△ABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的中点.求证:
四边形DEFG是平行四边形
15.
如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,∠B=50°
.将△ADE沿DE折叠,使点A落在点A1处,求∠BDA1的度数.
16.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.
（1）求证:
BN=DN;
（2）求△ABC的周长.
17.如图,在△ABC中,BC=AC,E、F分别是AB、AC的中点,延长EF交∠ACD的平分线于点G.
（1）AG与CG有怎样的位置关系?
说明你的理由;
四边形AECG是平行四边形.
18.我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三
边的一半”.类似地,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别
是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线,通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系,并证明你的结论.
19.如图,四边形纸片ABCD中,∠A=70°
∠B=80°
将纸片折叠,使C,D落在AB边上的C'
D'
处,折痕为MN,求∠AMD'
+∠BNC'
的度数
20.如图所示，E，F分别为平行四边形ABCD中AD，BC的中点，G，H在BD上，且BG＝DH，求证四边形EGFH是平行四边形．
21.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°
，AD＝24㎝，BC＝26㎝，动点P从点A开始沿AD边以每秒1㎝的速度向D点运动，动点Q从点C开始沿CB边以每秒3㎝的速度向B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts．
（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?
（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形?
（3）t为何值时，四边形ABQP为矩形?
22.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3
（1）求证：
BN＝DN；
（2）求△ABC的周长．
23.
（1）如图①，口ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：
AE＝CF．
（2）如图②，将口ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．
求证：
EI＝FG．
答案
1.证法一:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠CBA.∵DE平分∠ADC,BF平分∠ABC,∴∠ADE=?
∠ADC,∠CBF=?
∠CBA,∴∠ADE=∠CBF∴,△ADE≌△CBF（ASA）∴.DE=BF.
证法二:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDE=∠AED,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED,∴AE=AD.同理,CF=CB又,AD=CB,∴AE=CF∵,AB=CD∴,DF=BE∴,四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.
2.证法一:
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴∠ADB=∠CBD,由折叠可知∠EBD=∠CBD,BE=BC,∴∠EBD=∠ADB,AD=BE∴,BO=DO,∴AD-DO=BE-BO即,OA=OE.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠C,且AB=DC.由折叠可知∠E=∠C,DE=DC∴,∠A=∠E,AB=DE.
在△AOB和△EOD中,∴△AOB≌△EOD,∴OA=OE.
3.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠C,由折叠性质知,∠D1AE=∠C,∴∠D1AE=∠BAD,∴∠D1AD=∠BAE=55°
4.题图
（2）中OE=OF理.由:
在?
ABCD中,AB∥CD,OA=OC∴,∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF∴,△AOE≌△COF（AAS）∴,OE=OF题图（3）中OE=OF理.由:
ABCD中,AD∥BC,OA=OC∴,∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF∴,△AOE≌△COF（AAS）∴,OE=OF
5.∵∠BAC=28°
AE=AF,∴∠AFE=∠AEF=?
=76°
∴∠EFC=180°
-76°
=104°
由折叠的性质知,∠B=∠EFC=104°
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°
∴∠BCD=180°
-104°
.
6.
（1）证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD∵,点F为DC的延长线上一点,∴AB∥DF,
∴∠BAE=∠CFE∠,ECF=∠EBA,∵E为BC的中点,∴BE=CE则,在△BAE和△CFE中,∴△BAE≌△CFE（AAS）∴,AB=CF∴,CF=CD.
（2）DE⊥AF.理由:
∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵∠BAF=∠F,∴∠DAF=∠F,∴DA=DF又,由
（1）知△BAE≌△CFE,∴AE=EF∴,DE⊥AF.
7.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC∴.∠ADF=∠CBE又.∵BF=DE∴,BF+BD=DE+BD∴,DF=BE.∴△ADF≌△CBE∴.∠AFD=∠CEB.∴AF∥CE.
8.四边形AFCE是平行四边形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠BCA.又∵O是AC的中点,
∴OA=OC.又∵∠AOE=∠COF∴,△AOE≌△COF∴.OE=OF∵.OE=OF,OA=OC∴,四边形AFCE是平行四边形.
9.
（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,又∵EF∥BD,∴四边形FBDH为平行四边形.
（2）由
（1）知四边形FBDH为平行四边形,∴FH=BD,∵EF∥BD,AB∥DC,∴四边形BDEG是平行四边形,
∴BD=EG∴,FH=EG∴,FH-GH=EG-GH∴,FG=EH.
10.
（1）∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°
.∵∠EFB=60°
∴∠ABC=∠EFB∴.EF∥BC.又∵EF=DC∴,四边形EFCD是平行四边形.
（2）连接BE.∵BF=EF∠,EFB=60°
∴△BEF是等边三角形∴EB=EF∠ABE=60°
又∵EF=DC∴BE=DC∵△ABC是等边三角形∴∠ACB=60°
AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC∴,△ABE≌△ACD,∴AE=AD.
11.
（1）PE+PF=AB理.由:
∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠EPB=∠C,四边形PEAF是平行四边形,∴PF=AE,∵AC=AB,∴∠B=∠C,∴∠EPB=∠B,∴PE=BE∵.BE+AE=AB∴,PE+PF=AB.
（2）
（1）中结论不成立.此时结论为PE-PF=AB理.由:
∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠FPC=∠ABC,四边形PEAF是平行四边形,∴PE=AF又,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠FPC=∠ACB=∠FCP,∴PF=FC∴,PE-PF=AF-FC=AC=AB.
12.
（1）∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°
.∵∠EFB=60°
∴∠ABC=∠EFB.
∴EF∥BC.又∵EF=DC∴,四边形EFCD是平行四边形.
（2）连接BE.∵BF=EF∠,EFB=60°
∴△BEF是等边三角形.∴EB=EF∠,ABE=60°
.又∵EF=DC∴,BE=DC.∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°
AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC∴,△ABE≌△ACD,∴AE=AD.
13.
（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC∵.M、N分别是AD、BC的中点,∴MD=NC,又MD∥NC,∴四边形MNCD是平行四边形.
（3）如图,连接DN.∵N是BC的中点,BC=2CD∴,CD=NC∵.∠C=60°
∴△DCN是等边三角形.
∴ND=NC,∠DNC=∠NDC=60°
.∴ND=NB=CN.∴∠DBC=∠BDN=30°
.∴∠BDC=∠BDN+∠NDC=90°
∴∵四边形MNCD是平行四边形
∴MN=CD.∴BD=?
MN.
北师大八年级下册
第六章平行四边形证明题专项练习（包含答案）
14.∵D,E分别为AC、AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,且DE=1BC,又∵F、G分别是OB、OC的中点,2
∴FG是△BCO的中位线,∴FG∥BC,且FG=?
1BC,∴DE∥FG,DE=FG∴,四边形DEFG是平行四边形.
2
15.∵D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠B=50°
（两直线平行,同位角相等）,又∵∠ADE=∠A1DE,∴∠A1DA=2∠B,∴∠BDA1=180°
-2∠B=80°
.
16.
（1）证明:
∵AN平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵BN⊥AN,∴∠ANB=∠AND=90°
又AN=AN,∴△ABN≌△ADN,∴BN=DN.
（2）由△ABN≌△ADN知,AD=AB=10,点N为BD的中点,又M是BC的中点,∴MN为△BCD的中位线,∴CD=2MN=6,∴AC=AD+CD=16∴,△ABC的周长=AB+BC+AC=10+15+16=41.
17.
（1）AG⊥CG.理由:
∵E、F分别是AB、AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,AF=CF∴,EF∥BC,∴∠FGC=∠GCD,∵CG平分∠ACD,∴∠FCG=∠GCD∴,∠FCG=∠FGC∴,FG=FC又,∵AF=CF∴,AF=FG∴,∠FAG=∠AGF,∵∠FAG+∠AGC+∠ACG=180°
∴∠AGC=90°
∴AG⊥CG.
（2）证明:
由
（1）知,FG=?
1AC,∵EF是△ABC的中位线,∴EF=?
1BC,∴FG=EF又,∵AF=CF∴,四边形AECG是平行四边形22
18.
结论:
EF∥AD∥BC,EF=?
1（AD+BC）.证明如下:
如图所示,连接AF并延长交BC的延长线于点G,
∵AD∥BC,∴∠DAF=∠G,在△ADF和△GCF中,∠DAF=∠G,∠DFA=∠CFG,DF=FC,
∴△ADF≌△GCF（AAS）∴,AF=FG,AD=CG又,∵AE=EB,
11
∴EF∥BG,EF=?
BG,即EF∥AD∥BC,EF=?
（AD+BC）.
22
19.四边形纸片ABCD中,∠A=70°
∴∠D+∠C=360°
-∠A-∠B=210°
∵将纸片折叠,使C,D落在AB边上的C'
处,∴∠MD'
B=∠D,∠NC'
A=∠C,∴∠MD'
B+∠NC'
A=210
∴∠AD'
M+∠BC'
N=150°
∴∠AMD'
+∠BNC'
=360°
-∠A-∠B-∠AD'
M-∠BC'
N=60°
20.证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC（平行四边形对边平行且相等）．∴∠EDH＝∠FBG．又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴DE＝BF．又∵BG＝DH，∴．△DEH≌△BFG（SAS），∴EH＝FG，∠DHE＝∠BGF．
∴∠EHG＝∠FGH（等角的补角相等）．∴EH∥FG．∴四边形EGFH是平行四边形
21.
ABQP为矩形．
由已知得AP＝t，CQ＝3t，PD＝24－t，BQ＝26－3t．
（1）∵PD∥CQ，∴当PD＝CQ时，即3t＝24－t时，四边形PQCD为平行四边形，解得t＝6．故当t＝6时，四边形PQCD为平行四边形．
（2）如图3—38所示，作DE⊥BC，PF⊥BC，垂足分别为E，F，则CE＝2．当QF＝CE时，即QF+CE＝2CE＝4时，四边形PQCD是等腰梯形．此时有CQ－EF＝4，即3t—（24一t）＝4，解得t＝7．故当t＝7时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）若四边形
ABQP为矩形，则AP＝BQ，即t＝26—3t，解得t＝13．故当t＝13时，四边形22
22.
（1）证明：
在△ABN和△ADN中，
12
ANAN
∴△ABN≌△ADN，∴BN＝DN．
ANBAND
2）解：
∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，DN＝NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，故△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41．
23.证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠1＝∠2，
12，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF；
OAOC
34
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，由
（1）得AE＝CF，折叠的性质可得：
AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，
∴A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，
∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6，∵在△A1IE与△CGF中，A1C，56
A1ECF
北师大八年级下册第六章平行四边形证明题专项练习（包含答案）∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI＝FG．
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