巴特沃斯低通滤波器分析.docx
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巴特沃斯低通滤波器分析
巴特沃斯低通滤波器课程论文
班级：
1311电科
学号：
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摘要：
本篇论文叙述了数字滤波器的基本原理、IIR数字滤波器的设计方法和IIR数字高通滤波器设计在MATLAB上的实现与IIR数字滤波器在实际中的应用。
无限脉冲响应（IIR）数字滤波器是冲激响应函数h（t）包含无限个抽样值的滤波器，一般是按照预定的模拟滤波器的逼近函数来转换成相应的数字滤波器，现有的逼近函数如巴特沃斯、切比雪夫。
设计IIR数字滤波器在工程上常用的有两种：
脉冲响应不变法、双线性变换法。
其设计过程都是由模拟滤波器的系统函数H（s）去变换出相应的数字滤波器的系统函数H（z）。
关键词:
数字滤波器MATLAB巴特沃斯切比雪夫双线性变换法
Abstract:
Digitalfilterisdescribedinthispaperbasicprinciples,IIRdigitalfilterdesignmethodofIIRdigitalhigh-passfilterdesigninMATLABrealizationofIIRdigitalfilterandapplicationinpractice.InfiniteImpulseresponse（IIR）digitalfilteristheimpulseresponseh（t）includesunlimitedsamplingfilter,usuallyaccordingtotheanalogfilterapproximatingfunctiontoconvertintodigitalfilters,suchasButterworth,Chebyshevapproximationfunctions.DesignofIIRdigitalfilterstherearetwocommonlyusedinengineering:
impulseresponsemethod,thebilineartransformationmethod. Thedesignprocessarebytheanalogfiltersystemfunctionh（s）totransformthedigitalfilterofthesystemfunctionh（z）.
Key words:
DigitalfilterMATLABButterworthChebyshev
Bilineartransformationmethed
1.前言
所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。
因此，数字滤波器的概念和模拟滤波相同，只是信号形式和实现滤波方式不同。
正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波公能。
数字滤波器是一个离散时间系统。
应用数字滤波器处理模拟信号时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。
数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍。
数字滤波器的频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性，且以折叠频率（即二分之一抽样频率点）呈镜像对称。
为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换、平滑。
数字滤波器有低通、高通、带通、带阻和全通等类型。
它可以是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。
如果数字滤波器的内部参数不随时间而变化，则称为时不变的，否则为时变的。
如果数字滤波器在某一给定时刻的响应与在此时刻以后的激励无关，则称为因果的，否则为非因果的。
如果数字滤波器对单一或多个激励信号的响应满足线性条件，则称为线性的，否则为非线性的。
应用最广的是线性、时不变数字滤波器。
与模拟滤波器相同，数字滤波器从功能上看可分为低通、高通、带通和带阻几类。
因为它们的单位脉冲响应是非因果且无限长的，所以实际上理想滤波器是不可能实现的。
与模拟滤波器不同的是数字滤波器的传输函数都是以2π为周期的，滤波器的低通频带处于2π的整数倍处，而高频频带处于π的奇数倍附近。
根据对不同信号的处理可将滤波器分为模拟滤波器和数字滤波器两种。
模拟滤波器和数字滤波器的概念相同，只是信号的形式和实现滤波方法不同。
数字滤波器是指输入输出都是数字信号的滤波器。
数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器。
IIR滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应。
这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。
2、数字滤波器的概述
2.1数字滤波器的分类
按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类:
经典滤波器和现代滤波器。
经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的。
但是如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度的恢复信号，这时就需要现代滤波器。
滤波器的分类有很多的方式，如按元件、信号处理的方式、通频带分类、运放电路的构成等进行分类。
2.1滤波器的分类
2.2数字滤波器的技术指标
技术指标是设计滤波器重要的一部分。
在一般情况下，滤波器需要明确它的幅度特性，才能更好的进行设计。
比如低通滤波器的频率响应特性，它有过渡带、通带和阻带三范围，如图2.2.1。
在通带内：
1-AP≤|H（ejω）|≤1 |ω|≤ωc
在阻带上：
|H（ejω）|≤Ast Wst≤|ω|≤Wc
参数如下：
Ap通带误差；ωc通带截止频率；Ast阻带误差；ωst阻带截止频率
2.2.1低通滤波器频率响应幅度特性的容限图
模拟滤波器和数字滤波器根据它的频率特性，有低通，高通，带通，带阻等类型，数字滤波器的响应频率的周期是2π。
如图2.2.2所示不同频率的滤波器：
2.2.2数字滤波器的幅度频率响应
2.3数字滤波器的原理
数字信号分析在设计数字滤波器中是必不可少的。
数字滤波器被广泛运用于，如录音机、DVD、音响等。
随着科学技术的发展，模拟滤波器有很多的不足之处，所以逐渐被数字滤波器取代。
而与模拟滤波相比较，数字滤波器具有准确、系统稳定和灵活性高等优点。
但是信号在的滤波，抽样和转换方面，模拟模拟滤波器仍然充当着重要的角色。
数字滤波器是利用信号数字化、离散化的方法来加工信号的。
并且用数字方法根据信号的要求进行转换。
简而言之，数字滤波器就是一个离散系统，通过运算来处理输入信号，滤除高频干扰信号，从而得到有用的输出信号。
模拟信号的数字处理如图2-3所示。
模拟信号通过抗混叠滤波器的进行频带处理，然后通过AD转换和数字处理模块，再通过DA转换为模拟信号，最后，再用滤波器滤除这个模拟信号中的干扰信号。
2.3模拟信号的数字处理
3.巴特沃斯低通滤波器的设计
3.1巴特沃思低通滤波器的设计原理
巴特沃斯滤波器以巴特沃斯函数来近似滤波器的系统函数。
巴特沃斯滤波器是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波器。
巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示：
N=1,2，.......
下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征
a.对所有的N，。
b.对所有的N，
c.是Ω的单调下降函数。
d.随着阶次N的增大而更接近于理想低通滤波器。
如下图3.1所示，可以看出滤波器的幅频特性随着滤波器阶次N的增加而变得越来越好，在截止频率Ωc处的函数值始终为1/2的情况下，通带内有更多的频带区的值接近于1；在阻带内更迅速的趋近于零。
3.1巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数
3.2系统函数
设巴特沃斯的系统函数为Ha（s），则：
3.3设计过程
巴特沃思低通滤波技术指标关系式为
ap>-20log|Ha（jΩ）|，Ω<ΩP
as<-20log|Ha（jΩ）|，Ω>Ωs
其中：
Ωp为通带边界频率，Ωs为阻带边界频率。
经过化简整理可得：
取满足上式的最小整数N作为滤波器的阶数。
再将N代入可得：
或查表求得归一化传输函数H（s）,令s/Ωc代替归一化原型滤波器系统函数中的s,即得到实际滤波器传输函数。
（1）根据技术指标p、p、s和s，求出滤波器的阶数。
（2）求出归一化极点k,将k代入,得到归一化低通原型系统函数Ga（p）。
（3）将Ga（p）去归一化。
将p=s/c代入Ga（p）,得到实际的滤波器系统函数（c为3dB截止频率）
4.Matlab设计及实现
设计一个通带截止频率fp=5kHz,通带最大衰减αp=2dB,阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减αs=30dB的巴特沃斯低通滤波器。
4.1Matlab程序设计
1 [Z,P,K]=butter（N）
2 [N,wc]=buttord（wp,ws,Rp,As）
3 [N,wc]=buttord（wp,ws,Rp,As,’s’）
4 [B,A]=butter（N,wc,’ftype’）
5 [B,A]=butter（N,wc,’ftype’,’s’）
设计的程序如下：
>>wp=2*pi*5000;
>>ws=2*pi*12000;
>>Rp=2;
>>As=30;
>>[N,wc]=buttord（wp,ws,Rp,As,'s'）
N=
5
wc=
3.7792e+004
>>[B,A]=butter（N,wc,'s'）
B=
1.0e+022*
000007.7094
A=
1.0e+022*
0.00000.00000.00000.00000.00077.7094
>>k=0:
511;
>>fk=0:
14000/512:
14000;
>>wk=2*pi*fk;
>>Hk=freqs（B,A,wk）;
>>subplot（2,2,1）;
>>plot（fk/1000,20*log10（abs（Hk）））;
>>gridon
>>xlabel（'频率（kHz）'）;
>>ylabel（'幅度（dB）'）;
>>axis（[0,14,-40,5]）
4.2Matlab的实现
实现结果如下图4.1、4.2、4.3
4.1程序输入
4.2运算结果
4.3巴特沃斯运行输出的损耗函数
4.3Matlab结果分析
滤波器的损耗函数曲线如图4.3所示。
由图可以看出，阻带刚好满足指标要求，通带指标有富余。
5.总结
使用Matlab设计的过程中，找到了需要设计的低通滤波器的函数及依据。
依据设计的滤波器的wp,ws,Rp,Rs四个参数来确定输入信号的频率以实现过滤的目的。
实验过程中也遇到很多问题，通过查找资料都得到了解决。
通过这次学习，掌握了matlab的仿真和设计，对低通滤波器设计原理的加深了解及技术指标的设置。
这次设计不仅让我对数字信号处理这门学科的理论知识加深理解，而且让我对MATLAB中的许多函数的运用更加灵活，还增强了我的解决问题的能力。
参考文献
[1]高西全、丁玉美等编《数字信号处理》西安电子科技大学出版社2008年8月第3版
[2]张志涌、杨祖樱等编《M
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