高考数学三角形中的最值问题专项复习文档格式.docx
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利用基
余弦定理与重要不等式
a2+b2≥2ab,三角形两个边的和与基本不等式
a+b≥2,三角
典例导引
本不等式
利用函
数的值域
形面积公式与
ab≤,通过这些结合点,求解范围问题,注意等号成立的条件
通过建立参数与已知角或边的关系,把角或边作为自变量,参数作为函数值,转化
为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制,
以及三角形自身范围限制
1
温馨提醒
解题时尽量把角的范围缩小到最小限度.
为锐角三角形,则要求三个角均为锐角
例
（1）
的内角
A
，
B
的对边分别为
b
c
，且满足
acosB
（2c
）cosA
．
（1）求角
的大小；
（2
ABC
周长的最大值．
1
/
17
2.在
∆ABC
中，角
（2a
b）cos
cos
0
（2）求
sin
的取值范围．
【针对训练】
一、单选题
1．（2020·
黑龙江高三（理））设
A,
B,
D
是同一个半径为
4
的球的球面上四点，在
VABC
中，
BC
6
∠BAC
60︒
则三棱锥
体积的最大值为（）
A．12
3B．18
3C．
24
3D．
54
3
2．（2020·
山西高三（理））在锐角
a,
b,
的面积为
S
，若
sin（
）
=
A．2
2S
c2
，则
的最小值为（
）
tan（
B．2
C．1
D．
（bc
3．2018·
河南高考模拟（理））已知锐角
，B
，C
所对的边分别为
，若
），
A
则的取值范围是（）
⎛2
⎫
⎪
⎝
⎛
3
4．（2019·
安徽高三月考（理）
阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期
的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值λ（λ
>
0,
λ
≠
1）
的动点
的轨迹.已知在
A，B，C
a，b，c，且
2sin
，a
，
则
面积的最大值为（）
A．2B．
4
5．（2019·
长沙市明德中学高三开学考试（理））已知△ABC
中，内角
a，b，c，若
a2
＝b2+c2﹣bc，a＝3
的周长的最大值为（）
A．2
3B．6C．
3D．9
uuur
uuuruuur
uuuruuur
6．（2019·
山西太原五中高三月考）在
中，若
3（CA
⋅
AB
CB
|
|2
tan
+
最小值为（）
6
A．
5B．
5C．
6D．
B
的
7．（2019·
河南高三月考（理））在锐角
的取值范围为（
π
π
8．（2019·
吉林高三月考（理））
的对边为
，且
的面
积为
-
A．1
c2
），则
的最大值为（
C．3
D．4
（
9．
2019·
黑龙江鹤岗一中高三月考（理））锐角△ABC
的三个内角
B=2A，
asinA
的取值范围是（
33
⎫3
⎫⎛
⎪,⎪
⎝⎝
⎫
10．（2019·
重庆南开中学高三月考（理））在
a，b，c
2a
，则
3a
c
B．
C．
D．3
11．（2019·
安徽高考模拟（文））已知锐角
的角
，三角形
的面积
S
△
ABC
的取值范围为
⎤
⎣
⎭
12．（2019·
四川高三月考（文））已知
△ABC
，且
b）⋅
sinA
csinC
bsinB
若
的周长的最大值为（
13．
河南鹤壁高中高考模拟（文））在
所对应的边分别为
ac
二、填空题
14．（2019·
河北高三月考（文））已知在锐角三角形
a＝4，
a⎫
⎝
2⎭
15．（2019·
安徽高三期末（理））在
中，已知
2cos
取值范围为__________．
16．（2019·
重庆高三月考（理））在
中，
，则当
的面积取得最大值
时，
边上的高为______.
17．（2019·
江西高三月考（理））设
的对边长
成等比数列，
）-
，延长
至
BD
∆ACD
面积的最大值为__________.
18．
广东高考模拟（文））在
，∠ABC
120︒
，∠ABC
的平分线交
AC
于点
D，且
1，则
4a
的最小值为________．
19．（2019·
辽宁沈阳二中高三月考（理））已知
为锐角三角形，满足
）tan
外接圆的圆心为
O
，半径为
OAr
（uuur
（sin
uuu
AC
的取值范围是______.
例
（1）ABC
【答案】解：
（1）由已知，得
bcosA
2ccosA
．
acosB+
2ccosA
由正弦定理，得
sinAcosB
sinBcosA
2sinCcosAsinAcosB+
sinBcosA=
2sinCcosA，
即
（A
2sinCcosA
B）
因为
（π
sinC
C）
sinC
所以
2sinCcosA
<
，所以
（2）由余弦定理
2bccosA
2bccosA
（b
）2
≤
4（当且仅当
2b
时等号成立）．
周长
的最大值为
）cos
（1）因为
由正弦定理得
（sin
（B
12π
（2）由
（1）知
π⎫⎛
13
⎭⎝
22
⎪⎪
5
1331⎛π
⎫3
4442⎝3
⎭4
ππππ31⎛π
333342⎝3
＜0,⎪
2⎝3
⎭42⎝2
C,
【答案】B
【解析】
B．18
2r
∴
r
60︒
h
max
R2
R
2bc
bc
36
=bc
9
当
时等号成立，此时V
=Sh
18
，故选：
【答案】A
【解析】因为
，即
，因为
，由余弦定理
2ac
可得
2c
再由正弦定理得
或
得
2C
（舍去）.因为
是锐角三角形，
⎧π
⎪3
⎨
，得<
，即
∈
（,1）
⎪π
+≥
）2
C
当且仅当
，取等号.故选:
ç
0,
⎪
⎛
【答案】C
a（a
c）
由余弦定理得：
，由正弦定理得
Acos
A）
，因为三角形是锐角三角形，所以
（0,
（不合题意），
因为三角形是锐角三角形，所以
0
7
所以
sin2
，故选
C.
sin（B
【解析】依题意，
，得
a2
b2b2
=+=
2c2c
，以
边所在的直线为
x
轴，
的垂直平分线为
y
轴
建立直角坐标系，则
A（1,0）,B（-1,0）
，设
x,
y）,
x0
由
的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为
1644
=,
?
，边
高的最大值为，∴
（S）
3933
＝b2+c2﹣bc，a＝
，则ABC
B．6
D．9
【答案】D
【解析】由题,
即
3bc
2⎛
⎫2
⎝2
44
等,∴CVABC（max）
故选：
D
8
5
【解析】设
△ABC的内角
所对应的三条边分别为
a，，
uuur
则有
·
3（-bc
2c2
由正弦定理得：
3（-sinBcosA
sinAcosB）
2sinC
展开可得
5cos
Asin
5tan
15
Btan
B5
2S
.由余弦定理
，可得
（舍去）.
⎪πππ
故选：
D.
【解析】由余弦定理可得：
，又
2π
c）2
ac…
c）2„
（2
3）
16
，当且仅当
时，等号成立，故
4.
13
⎪,⎪⎪
⎝⎝
62
【解析】∵
，∴
sinB
2sinAcosA，
2acosA，∴
asinA
tanA
2cosA
∵
⎪3311
⎨0
，解得<
，∴<
，∴<
tanA
．
10
即
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