浅谈数学思想方法的教学与应用.docx
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浅谈数学思想方法的教学与应用
浅谈数学思想方法的教学与应用
学生经过一轮复习，对本学期所学知识有了基本的回顾，数学思想方法这个课程是对知识的进一步提炼。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，让学生了解数学思想方法，对学生今后学习数学有很大帮助。
德国著名数学家克莱因曾在他的《西方文化中的数学》中写道：
数学是一种精神，一种理性的精神。
正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。
不仅数学家体悟到了数学的魔力，就连希腊著名哲学家柏拉图都在号召：
哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质，又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。
那么，作为初中生，如何才能学好数学呢？
有人曾调侃：
数学学霸和学渣最大的区别就在于是否会运用数学思想方法!
数学思想方法是数学的灵魂和精髓，数学思想方法无论在数学专业领域、数学教育范围内，还是在其它科学中，都被广为使用。
今天，我们就共同探讨一下数学的思想和方法。
一、什么是数学思想和方法
所谓数学思想，就是对数学知识的本质的认识。
是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，所谓数学方法指在数学中提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。
数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思想时，称数学思想，强调操作过程时，称数学方法。
数学思想方法是学习数学知识的精髓，是培养数学分析问题、解决问题能力提升的有效途径，在数学学习过程中，如果经常反思总结一些数学思想方法，能达到触类旁通的解题目的，而且能节省审题时间。
因此，在中考冲刺阶段一定要多进行题后反思，力争通过反思数学思想方法达到“做一题，会一类”的目的。
2、常用的数学思想方法
有建模思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想、整体思想、数形结合思想、转化思想、方程思想、函数思想。
初中学生应掌握的数学方法有配方法、换元法、待定系数法、参数法、构造法、特殊值法等
3、为什么要重视数学思想和方法的学习。
1、在认知心理学里,思想方法属于元认知范畴,数学思想对认知活动起着监控、调节作用,对培养能力起着决定性的作用。
学习数学的目的“就意味着解题”（波利亚语）,解题的关键在于找到合适的解题思路,数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想。
因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,提高学生的元认知水平,是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。
2、数学知识本身是非常重要的,但它并不是惟一的决定因素,真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用,并使其终生受益的是数学思想方法。
未来社会需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才。
因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果。
3、初中数学教材是数学教学的显性知识系统,许多重要的法则、公式,教材中只能看到结论,许多例题的解法也只能看到巧妙的处理,而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括和探索推理的心智活动过程。
因此,数学思想方法是数学教学的隐性知识系统,小学数学教学应包括显性和隐性两方面知识的教学。
教师如果在教学中仅仅依照课本的安排,沿袭着从概念、公式到例题、练习这一传统的教学过程,即使讲深讲透,并要求学生记住结论,掌握解题的类型和方法,这样培养出来的学生也只能是“知识型”、“记忆型”的,将完全背离数学教育的目标。
4、中学数学教学的根本任务是全面提高学生素质,其中最重要的因素是思维素质,而数学思想方法就是增强学生数学观念,形成良好思维素质的关键。
如果将学生的数学素质看作一个坐标系,那么数学知识、技能就好比横轴上的因素,而数学思想方法就是纵轴的内容。
淡化或忽视数学思想方法的教学,不仅不利于学生从纵横两个维度上把握数学学科的基本结构,而且必将影响其能力的发展和数学素质的提高。
因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,是数学教学改革的新视角,是进行数学素质教育的突破。
5、中学数学中蕴含的数学思想方法很多,最基本的数学思想方法有转化思想、类比思想、统计思想、符号思想、模型化思想、对应思想等,突出这些基本思想方法,就相当于抓住了中学数学知识的精髓。
4、如何培养初中生的数学思想方法
1、“方法”中渗透“思想”、以“思想”指导“方法”
数学思想和方法本来是相互联系的，不可能截然分开。
数学中用到的各种方法都体现着一定的数学思想。
但数学思想是属于一种数学观念一类的东西，比较抽象。
而数学方法是实施数学思想的具体的技术手段。
对初中数学教学来说，更应注意这一点。
通过对数学方法的理解与应用，以达到数学思想的了解，是使思想与方法得到交融的有效途径。
例如我们初中数学中涉及到的转化思想就有从未知转化到已知、一般到特殊、数字转化到图形等等。
再具体一点来说，比如在初中一年级的有理数教学中引入了用数轴表示数的方法，这一方法体现的就是数形结合思想。
运用这一思想，可以解决许多图形问题，它将对以后运用到的数学方法（如解析几何）起重要的指导性作用。
因此，在教学中要让学生在掌握“用数轴表示数”的方法的同时了解这一“数形结合思想”。
2、遵循认知规律、逐步渗透、突出重点
由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。
因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。
教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。
数学中的许多公式、概念、定理本身就隐含丰富的数学方法内容。
如分类思想方法、数学模型思想。
在教学过程中它将逐步渗透这些思想。
但在某些思想方法的教学过程中，要向学生作重点讲解、强调，让学生理解它的意义。
比如在一元一次方程的教学过程中，学生不习惯于列方程，有的学生在解题时仍套用小学学过的方法。
这需要教师强调列方程建立数学模型的重要性，通过这一方法的运用，建立起一种已知未知转化、数学模型思想概念。
在数轴表示数的教学中，强调数形结合的重要性，加强训练，初步建立数形结合概念。
3、寓思想方法于教学，优化学生思维品质
以上提到的数学思想方法不可能一节课或几节课内完成的，它需要长时间的训练，日积月累，潜移默化。
它不是通过解几道题、或者说学了几种定义、定理就能达成，而需要不断的积累数学知识，不断地进行解题训练，才能逐步形成的。
更需要教师在教学过程中有意识地对学生进行数学思维方式的灌输、训练，优化学生思维品质。
具体如何进行操作？
①、经常归纳，训练思维的深刻性。
如在每一单元学习结束，引导学生归纳、总结章节内容，这既利于学生系统理解、对比分析、内容归类，更利于训练学生思维的深刻性。
②、类比联想，训练相似思维。
比如在教有理数的乘方运算时，在引入新课时可以通过复习加、减、乘、除运算，加深对这四种运算的结果分别叫和、差、积、商这一知识点的映象。
这样，当讲到“乘方”运算的结果“幂”时，学生很快就联想到前面学过的知识而进行类比，从而不难理解“幂”的意义。
③、寻求转化，训练创造性思维。
4、培养用数学思想方法认识、处理现实生活问题的能力
数学思想方法是形成学生的良好的认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。
通过数学教学，教授学生用数学思想方法认识生活中的问题，逐步形成理性、科学处理问题的能力。
如在＜生活中的数据＞和＜可能性＞的教学，培养学生用数学思想方法处理生中的数据的能力，理性地分析、认识生活中的博彩现象。
这对以后步入社会有着直接的帮助。
现行初中数学教材和课标都注重了数学思想与方法，这就需要教师在教学过程中提高自身对此的认识，有意识地进行渗透、传输。
五、常用的数学思想方法的教学和应用
（一）、整体思想
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：
整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。
运用整体思想解题往往能为许多中考题找到简便的解法。
整体思想是一种解题思想，它主要渗透在解题步骤当中，常见有：
1、求代数式的值时，不是求出代数式中每个字母的值，而是求代数式中整体某一个部分的值。
2、求零散图形的面积时，利用它们的结构特点或全等变换进行整体求出。
这种思想可以应用到各种类型的题之中。
例题示范：
1．（2019·邯郸一模）若3x2－5x＋1＝0，则5x（3x－2）－（3x＋1）（3x－1）＝（A）
A．－1B．0C．1D．－2
2、（2018·南充）已知
－
＝3，则代数式
的值是（D）
A．－
B．－
C.
D.
3、（2018·唐山丰南区二模）如图，点E是矩形ABCD内任一点．若AB＝30，BC＝40，则图中阴影部分的面积为600．
4、我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a＋b）2的值为49．
5、（2018·滨州）若关于x，y的二元一次方程组
的解是
则关于a，b的二元一次方程组
的解是
．
（二）、分类讨论思想
分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类的原则是：
（1）分类中的每一部分是相互独立的；
（2）一次分类必须是同一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。
其实质是化整为零，各个击破，化大难为小难的策略。
其一般规则及步骤是：
（1）确定同一分类标准；
（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小节，归纳得出结论。
分类讨论思想常见的几种类型：
1、等腰三角形：
如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一个角求另外两角时，要考虑所给的边是腰还是底边，所给出的角是顶角还是底角进行分类解决。
2、直角三角形：
在直角三角形中求明确哪个角为直角时，要注意分情况进行讨论（分类讨论），然后利用勾股定理或解直角三角形即可求解。
3、相似三角形：
若题目中出现两个三角形相似，则需要讨论各边的对应关系；若出现位似，则分两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论。
4、圆：
圆的一条弦（直径除外）对两条弧，常分优弧和劣弧两种情况讨论；求圆中两条平行弦的距离，常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论。
例题示范：
1、（2019·保定一模）如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A，B两点，点P的坐标为（3，－1），AB＝2
.将⊙P沿着与y轴平行的方向平移多少距离时⊙P与x轴相切（D）
2、（2019·通辽）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为6或2
或4
．
3、（2019·绥化）半径为5的⊙O是锐角△ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5
或5
．
【解析】 如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，
∴AD＝BD.∴AC＝BC.
∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．
∴∠DBO＝30°.
∵OB＝5，∴BD＝
OB＝
.∴BC＝AB＝5
；
如图2，当∠DOB＝90°时，则∠BOC＝90°.
∴△BOC是等腰直角三角形．
∴BC＝
OB＝5
.
综上所述：
若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5
或5
.
4、一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是
-3≤x≤6，，相应的函数值的取值范围是
-5≤y≤-2，则这个函数的解析式。
5、如图，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）.一次函数y＝x＋t的图象l随t的不同取值变化时，正方形中位于l的右下方部分的图形面积为S．写出S与t的函数关系式．
（三）、数形结合思想
所谓数形结合是指抽象的数学语言与形象直观的图形结合起来，从而实现由抽象向具体转化的一种思维方式。
著名数学家华罗庚说过：
“数缺形时不直观，形少数时难入微”。
有些数最关系，借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化；而图形的一些性质，借助于数量的计算和分析得以严谨化。
在初中阶段，数形结合的“形”可以是数轴、函数的图象和几何图形等等，它们都具有形象化的特点。
数形结合思想在初中数学中主要表现在以下两个方面：
（l）以形助数，帮助学生深刻理解数学概念如教师可以用数轴上点和实数之间的对应关系来讲清相反数、绝对值的概念以及比较两个数大小的方法；运用函数图象的性质讨沦一元二次方程的根以及讨论一元一次不等式等等；
（2）以数助形，帮助学生简化解题方法。
数形结合思想常见的有四种类型：
1、实数与数轴：
实数与数轴上的点具有一一对应关系，因此借助数轴观察数的特点，直观明了。
2、在解方程（组）或不等式（组）的应用：
利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决；利用数轴或函数图象解有关不等式（组）的问题更直观、形象，易于找出不等式（组）解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
3、在函数中的应用：
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
4、在几何中的应用：
对于几何问题，我们常通过图形找出边、角的数量关系，通过边、角的数量关系，得出图形的性质等。
例题示范：
1．（2019·保定竞秀区一模）如图，数轴上A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，AB＝BC.若|b|＜|a|＜|c|，则关于原点O的位置，下列结论正确的是（A）
A．在A，B之间更接近BB．在A，B之间更接近A
C．在B，C之间更接近BD．在B，C之间更接近C
2、如图已知二次函数与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（－2，4），B（8，2），则能使ax2+bx+c>kx+m成立的x的取值范围是________．
3、如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）
4、如图,双曲线y1=
（x>0）经过D（2,5）,双曲线y2=
（x>0）经过C点，A点在y轴正半轴上，B（2,0）点在x轴的正半轴上，若四边形ABCD是矩形
（1）求双曲线y1=
（x<0）的解析式.
（2）求A的坐标，双曲线y2=
（x>0）解析式。
（四）、转化和化归思想
化归就是转化与归结的简称，所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。
具体来说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，从而使问题得以解决的思想方法.
化归思想方法是处理数学问题的指导思想和一种基本策略。
化归思想就是把未知问题化归为已知问题。
把复杂问题化归为简单问题，把非常规问题化归为常规问题。
从而使很多问题得到解决的思想。
结合解题进行化归思想方法的训练的做法：
1、化繁为简；2、化高维为低维；3、化抽象为具体；4、化非规范性问题为规范性问题；5、化数为形；6、化实际问题为数学问题；7、化综合为单一；8、化一般为特殊。
化归思想常见的六种类型：
1、在解方程和方程组中的应用：
通过消元将二元一次组转化为一元一次方程；通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程；通过去分母把分式方程转化为整式方程。
2、多边形化为三角形：
解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决。
3、立体图形转化为平面图形：
立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化。
4、一般三角形转化为直角三角形：
通过作已知三角形的高，将问题转化为直角三角形问题。
5、化不规则图形为规则图形：
根据图形的特点进行平移、旋转、割补等方法将不规则图形的面积转化为规则图形（如三角形、矩形、扇形等）面积的和或差进行求解。
6、转化和化归在圆中的应用：
圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦、等弧与等弧所对的圆周角都是可以相互转化的。
例题示范：
2、（2019·娄底）如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝
和y＝－
，则阴影部分的面积是（C）
A．4πB．3πC．2πD．π
3、（2018·东营）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（C）
A．3
B．3
C.
D．3
4、（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2＋2x＋c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（B）
A．c＜－3B．c＜－2C．c<
D．c＜1
5、已知二次函数y＝x2＋ax＋a－2.
（1）求证：
不论a为何实数，则函数图象与x轴总有两个交点；
解：
（1）当y＝0时，得x2＋ax＋a－2＝0，由Δ＝a2－4×1×（a－2）＝a2－4a＋8＝（a－2）2＋4，无论a取何值，Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以与x轴总有两个交点．
（五）、函数与方程与函数思想．
方程与函数思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．
常见类型有：
1、二次函数求最值。
2、解直角三角形的相关问题。
3、最大利润问题。
4、最佳分配方案问题。
5、空间与图形的相关问题。
6、根据相关信息求函数关系式。
例题示范：
1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ面积的最小值为（C）
A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2
2、如图，在直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点p从点B出发沿BO向终点O运动，动点Q从点A出发沿AB向终点B运动。
两点同时出发，速度为每秒1个单位。
设从出发起运动了xs
（1）点Q的坐标为（，）（用含x的代数式表示）
x
y
O
P
A
B
Q
G
（2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？
3、（2016·甘孜）如图，顶点为M的抛物线y＝a（x＋1）2－4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，－3）.
（1）求抛物线的函数表达式；
解 ∵抛物线y＝a（x＋1）2－4与y轴相交于点C（0，－3），
∴－3＝a－4，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x＋1）2－4＝x2＋2x－3.
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由；
解 △BCM是直角三角形.理由如下：
由
（1）得：
抛物线解析式为y＝（x＋1）2－4，顶点为M，
∴M（－1，－4），
令y＝0，得x2＋2x－3＝0，解得：
x1＝－3，x2＝1，
∴A（1,0），B（－3,0），
∴BC2＝9＋9＝18，CM2＝1＋1＝2，BM2＝4＋16＝20，
∴BC2＋CM2＝BM2，∴△BCM是直角三角形.
如果说数学问题是数学的心脏，那么数学思想就是数学的灵魂。
学生只有领会了数学思想，才能有效地应用数学知识。
对于初中学生来讲，从七年级就开始有目的、有意思地培养数学思想，对他们的数学学习和数学思维的训练习有好处。
杜甫的《春夜喜雨》中有“好雨知时节，当春乃发生。
随风潜入夜，润物细无声。
”之句。
希望老师们在教学中，有意识、有计划的将数学思想方法“化作春雨”滋润学生的心田。
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