高中数学《13 算法案例》教案1 新人教A版必修3Word文件下载.docx

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计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.

第三步，更新被除数和余数：

m=n，n=r.

第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；

否则转向第二步继续循环执行.

如此循环，直到得到结果为止.这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.

（4）更相减损术

我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；

若不是，执行第二步.

第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.

应用示例

例1用辗转相除法求8251与6105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序.

解：

用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：

8251=6105×

1+2146.

由此可得，6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数，反过来，8251与6105的公约数也是6105与2146的公约数，所以它们的最大公约数相等.

对6105与2146重复上述步骤：

6105=2146×

2+1813.

同理，2146与1813的最大公约数也是6105与2146的最大公约数.继续重复上述步骤：

2146=1813×

1+333，

1813=333×

5+148，

333=148×

2+37，

148=37×

4.

最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8251与6105的最大公约数.

这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.

算法分析：

从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法.

算法步骤如下：

第一步，给定两个正整数m，n.

第二步，计算m除以n所得的余数为r.

第三步，m=n，n=r.

第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；

否则，返回第二步.

程序框图如下图：

程序：

INPUTm,n

DO

r=mMODn

m=n

n=r

LOOPUNTILr=0

PRINTm

END

点评：

从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如：

求8251与6105的最大公约数,为什么可以转化为求6105与2146的公约数.因为8251=6105×

1+2146，

可以化为8251-6105×

1=2164，所以公约数能够整除等式两边的数，即6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数.

变式训练

你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？

试画出程序框图和程序.

当型循环结构的程序框图如下图：

INPUTm，n

r=1

WHILEr＞0

WEND

例2用更相减损术求98与63的最大公约数.

由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下图所示.

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数等于7.

更相减损术与辗转相除法的比较：

尽管两种算法分别于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；

而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程．

用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.

324=243×

1＋81，

243=81×

3＋0，

则324与243的最大公约数为81.

又135=81×

1＋54，81=54×

1＋27，

54=27×

2＋0，

则81与135的最大公约数为27.

所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.

另法：

324－243=81,243－81=162,162－81=81，则324与243的最大公约数为81.

135－81=54,81－54=27,54－27=27，则81与135的最大公约数为27.

所以，三个数324、243.135的最大公约数为27.

例3

（1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.

（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.

（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：

123＝2×

48＋27，

48＝1×

27＋21，

27＝1×

21＋6，

21＝3×

6＋3，

6＝2×

3+0，

最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3.

（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数2.

80÷

2=40，36÷

2=18.

40和18都是偶数，要除公因数2.

40÷

2=20，18÷

2=9.

下面来求20与9的最大公约数，

20－9=11，

11－9=2，

9－2=7，

7－2=5，

5－2=3，

3－2=1，

2－1=1，

可得80和36的最大公约数为22×

1=4.

对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等.

分别用辗转相除法和更相减损术求1734，816的最大公约数．

辗转相除法：

1734=816×

2+102，816=102×

8（余0），

∴1734与816的最大公约数是102．

更相减损术：

因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数．

867-408=459，

459-408=51，

408-51=357，

357-51=306，

306-51=255，

255-51=204，

204-51=153，

153-51=102，

102-51=51.

∴1734与816的最大公约数是51×

2=102．

利用更相减损术可另解：

1734－816＝918，

918－816＝102，

816－102＝714，

714－102＝612，

612－102＝510，

510－102＝408，

408－102＝306，

306－102＝204，

204－102＝102.

知能训练

求319，377，116的最大公约数．

377=319×

1+58，

319=58×

5+29，

58=29×

2.

∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数．

116=29×

∴29与116的最大公约数为29.

∴377，319，116的最大公约数为29.

拓展提升

试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序．

更相减损术程序：

INPUT“m，n=”；

m，n

WHILEm<

>

n

IFm>

nTHEN

ｍ＝m-n

ELSE

m=n-m

ENDIF

课堂小结

（1）用辗转相除法求最大公约数.

（2）用更相减损术求最大公约数.

思想方法：

递归思想.

作业

分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.

分析：

本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用．使用辗转相除法可依据m=nq+r，反复执行，直到r=0为止；

用更相减损术就是根据m-n=r，反复执行，直到n=r为止．

319=261×

1+58,

261=58×

4+29,

∴319与261的最大公约数是29．

319-261=58,

261-58=203,

203-58=145,

145-58=87,

87-58=29,

58-29=29,

设计感想

数学不仅是一门科学，也是一种文化，本节的引入从东、西方文化的不同开始，逐步向学生渗透数学文化.从知识方面主要学习用两种方法求两个正整数的最大公约数，从思想方法方面，主要学习递归思想.本节设置精彩例题，不仅让学生学到知识，而且让学生进一步体会算法的思想，培养学生的爱国主义情操．

2019-2020年高中数学《1.3算法案例》教案2新人教A版必修3

大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f（x）=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？

方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法.

前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法.

（1）求多项式f（x）=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？

比较它们的特点.

（2）什么是秦九韶算法？

（3）怎样评价一个算法的好坏？

（1）怎样求多项式f（x）=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？

一个自然的做法就是把5代入多项式f（x），计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.

另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·

x，（x2·

x）·

x，（（x2·

x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.

第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.

（2）上面问题有没有更有效的算法呢？

我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：

把一个n次多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成如下形式：

f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

=（anxn-1+an-1xn-2+…+a1）x+a0

=（（anxn-2+an-1xn-3+…+a2）x+a1）x+a0

=…

=（…（（anx+an-1）x+an-2）x+…+a1）x+a0.

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即

v1=anx+an-1，

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v2=v1x+an-2，

v3=v2x+an-3，

…

vn=vn-1x+a0，

这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.

上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.

（3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法.

例1已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，

用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.

根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：

f（x）=（（（（5x+2）x+3.5）x-2.6）x+1.7）x-0.8，

按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：

v0=5；

v1=5×

5+2=27;

v2=27×

5+3.5=138.5;

v3=138.5×

5-2.6=689.9;

v4=689.9×

5+1.7=3451.2;

v5=3415.2×

5-0.8=17255.2;

所以，当x=5时，多项式的值等于17255.2.

观察上述秦九韶算法中的n个一次式，可见vk的计算要用到vk-1的值，若令v0=an，我们可以得到下面的公式：

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.

第一步，输入多项式次数n、最高次的系数an和x的值.

第二步，将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.

第三步，输入i次项的系数ai.

第四步，v=vx+ai,i=i-1.

第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；

否则，输出多项式的值v.

INPUT“n=”；

INPUT“an=”；

a

INPUT“x=”；

x

v=a

i=n-1

WHILEi＞=0

PRINT“i=”；

i

INPUT“ai=”；

v=v*x+a

i=i-1

PRINTv

本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.

请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.

设f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：

f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0

=（（a5x3+a4x2+a3x+a2）x+a1）x+a0

=（（（a5x2+a4x+a3）x+a2）x+a1）x+a0

=（（（（a5x+a4）x+a3）x+a2）x+a1）x+a0.

上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可.

例2已知n次多项式Pn（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，如果在一种算法中，计算（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10（x0）的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：

P0（x）=a0,Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算P10（x0）的值共需要___________次运算.

答案：

6520

秦九韶算法适用一般的多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次.

例3已知多项式函数f（x）=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值.

解析：

把多项式变形为：

f（x）=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7

=（（（（2x－5）x－4）x+3）x－6）x+7.

计算的过程可以列表表示为：

最后的系数2677即为所求的值.

算法过程：

v0=2；

v1=2×

5－5=5；

v2=5×

5－4=21；

v3=21×

5+3=108；

v4=108×

5－6=534；

v5=534×

5+7=2677.

如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.

当x=2时，用秦九韶算法求多项式f（x）=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值．

解法一：

f（x）=（（（（3x+8）x-3）x+5）x+12）x-6.

按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.

v0=3;

v1=v0×

2+8=3×

2+8=14;

v2=v1×

2-3=14×

2-3=25;

v3=v2×

2+5=25×

2+5=55;

v4=v3×

2+12=55×

2+12=122;

v5=v4×

2-6=122×

2-6=238.

∴当x=2时，多项式的值为238.

解法二：

f（x）=（（（（3x+8）x-3）x+5）x+12）x-6，

则f

（2）=（（（（3×

2+8）×

2－3）×

2+5）×

2+12）×

2－6＝238．

用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.

f（x）=（（（（（（7x+6）+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x

v0=7；

v1=7×

3+6=27；

3+5=86；

v3=86×

3+4=262；

v4=262×

3+3=789；

v5=789×

3+2=2369；

v6=2369×

3+1=7108；

v7=7108×

3+0=21324.

∴f（3）=21324.

1.秦九韶算法的方法和步骤.

2.秦九韶算法的计算机程序框图.

已知函数f（x）=x3－2x2－5x+8,求f（9）的值.

f（x）=x3－2x2－5x+8=（x2－2x－5）x+8=（（x－2）x－5）x+8

∴f（9）=（（9－2）×

9－5）×

9+8=530.

古老的算法散发浓郁的现代气息，这是一节充满智慧的课.本节主要介绍了秦九韶算法.

通过对秦九韶算法的学习，对算法本身有哪些进一步的认识？

教师引导学生思考、讨论、概括，小结时要关注如下几点：

（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；

（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；

（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.