离散数学第1章习题解答Word文件下载.docx
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⑸ p：
王强学过法语；
刘威学过法语；
⑹ p：
你看电影；
我看电影；
⑺ p：
我看电视；
我外出；
r：
我睡觉；
⑻ p：
天下大雨；
他乘班车上班。
3.将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
⑴ p：
他吃饭；
他听音乐；
原命题符号化为：
p∧q
3是素数；
2是素数；
p∨q
地球上有树木；
人类能生存；
p→q
8是偶数；
8能被3整除；
p↔q
停机；
语法错误；
程序错误；
q∨r→p
四边形ABCD是平行四边形；
四边形ABCD的对边平行；
p↔q。
a是偶数；
b是偶数；
a+b是偶数；
p∧q→r
4.将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。
⑴ 如果3+3=6，则雪是白的。
⑵如果3+3≠6，则雪是白的。
⑶如果3+3=6，则雪不是白的。
⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。
⑸
是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹2+3=5的充要条件是
是无理数。
（假定是10进制）
⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。
⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
设p：
3＋3＝6。
雪是白的。
⑴ 原命题符号化为：
p→q；
该命题是真命题。
⑵ 原命题符号化为：
p→q；
⑶ 原命题符号化为：
p→q；
该命题是假命题。
⑷ 原命题符号化为：
p→q；
是无理数；
加拿大位于亚洲；
p↔q；
2+3＝5；
两圆O1,O2的面积相等；
两圆O1,O2的半径相等；
王小红心情愉快；
王小红唱歌；
1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。
⑴（p∧q→r）
⑵（p∧（q→r）
⑶（（p→q）↔（r∨s））
⑷（p∧q→rs）
⑸（（p→（q→r））→（（q→p）↔q∨r））。
⑴⑶⑸是合式公式；
⑵⑷不是合式公式。
2.设p：
天下雪。
我将进城。
我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪，我也没有进城。
⑵如果我有时间，我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
⑴p∧q
⑵r→q
⑶p∧r→q
3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。
⑴r∧q
⑵¬
（r∨q）
⑶q↔（r∧¬
p）
⑷（q→r）∧（r→q）
⑴我有时间并且我将进城。
⑵我没有时间并且我也没有进城。
⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。
4.试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。
⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。
⑵如果张三和李四都不去，他就去。
⑶我们不能既划船又跑步。
⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
⑴p：
你给我写信；
信在途中丢失；
（p∧q）∨（p∧q）。
张三去；
李四去；
他去；
p∧q→r。
我们划船；
我们跑步；
（p∧q）。
你来了；
他唱歌；
你伴奏；
p→（q↔r）。
5.用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
上午下雨；
我去看电影；
我在家读书；
s：
我在家看报；
（p→q）∧（p→r∨s）。
我今天进城；
天下雨；
q→p。
你走；
我留下；
q→p。
1.设A、B、C是任意命题公式，证明：
⑴AA
⑵若AB，则BA
⑶若AB，BC，则AC
证明：
⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式，由等价式的定义可知AA成立。
⑵因为AB，由等价的定义可知A↔B是一个永真式，再由双条件的定义可知B↔A也是一个永真式，所以，BA成立。
⑶对A、B、C的任一赋值，因为AB，则A↔B是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为BC，则B↔C是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；
即AC成立。
2.设A、B、C是任意命题公式，
⑴若A∨CB∨C,AB一定成立吗？
⑵若A∧CB∧C,AB一定成立吗？
⑶若¬
A¬
B，AB一定成立吗？
⑴不一定有AB。
若A为真，B为假，C为真，则A∨CB∨C成立，但AB不成立。
⑵不一定有AB。
若A为真，B为假，C为假，则A∧CB∧C成立，但AB不成立。
⑶一定有AB。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑴q∧（p→q）→p
⑵p→（q∨r）
⑶（p∨q）↔（q∨p）
⑷（p∧q）∨（r∧q）→r
⑸（（¬
p→（p∧¬
q））→r）∨（q∧¬
r）
⑴ q∧（p→q）→p的真值表如表所示。
表
p
q
p→q
q∧（p→q）
q∧（p→q）→p
1
使得公式q∧（p→q）→p成真的赋值是：
00，10，11，使得公式q∧（p→q）→p成假的赋值是：
01。
⑵ p→（q∨r）的真值表如表所示。
r
q∨r
p→（q∨r）
使得公式p→（q∨r）成真的赋值是：
000，001，010，011，101，110，111，使得公式p→（q∨r）成假的赋值是：
100。
⑶ （p∨q）↔（q∨p）的真值表如表所示。
q∨p
（p∨q）↔（q∨p）
所有的赋值均使得公式（p∨q）↔（q∨p）成真，即（p∨q）↔（q∨p）是一个永真式。
⑷ （p∧q）∨（r∧q）→r的真值表如表所示。
q
p∧q
r∧q
（p∧q）∨（r∧q）
（p∧q）∨（r∧q）→r
使得公式（p∧q）∨（r∧q）→r成真的赋值是：
000，001，010，011，101，110，111，使得公式（p∧q）∨（r∧q）→r成假的赋值是：
⑸（（p→（p∧q））→r）∨（q∧r）的真值表如表所示。
p→（p∧q）
（p→（p∧q））→r
q∧r
（（p→（p∧q））→r）∨（q∧r）
使得公式（（p→（p∧q））→r）∨（q∧r）成真的赋值是：
000，001，010，011，101，110，111，使得公式（（p→（p∧q））→r）∨（q∧r）成假的赋值是：
4.用真值表证明下列等价式：
⑴（p→q）p∧q
证明（p→q）p∧q的真值表如表所示。
（p→q）
由上表可见：
（p→q）和p∧q的真值表完全相同，所以（p→q）p∧q。
⑵p→qq→p
证明p→qq→p的真值表如表所示。
p
q→p
p→q和q→p的真值表完全相同，所以p→qq→p。
⑶（p↔q）p↔q
证明（p↔q）和p↔q的真值表如表所示。
（p↔q）
p↔q
（p↔q）和p↔q的真值表完全相同，所以（p↔q）p↔q。
⑷p→（q→r）（p∧q）→r
证明p→（q→r）和（p∧q）→r的真值表如表所示。
q→r
p→（q→r）
（p∧q）→r
p→（q→r）和（p∧q）→r的真值表完全相同，所以p→（q→r）（p∧q）→r。
⑸p→（q→p）p→（p→q）
证明p→（q→p）和p→（p→q）的真值表如表所示。
q→p
p→（q→p）
p→q
p→（p→q）
p→（q→p）和p→（p→q）的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→（q→p）p→（p→q）。
⑹（p↔q）（p∨q）∧（p∧q）
证明（p↔q）和（p∨q）∧（p∧q）的真值表如表所示。
（p∧q）
（p∨q）∧（p∧q）
（p↔q）和（p∨q）∧（p∧q）的真值表完全相同，所以（p↔q）（p∨q）∧（p∧q）
⑺（p↔q）（p∧q）∨（p∧q）
证明（p↔q）和（p∧q）∨（p∧q）的真值表如表所示。
p∧q
（p∧q）∨（p∧q）
（p↔q）和（p∧q）∨（p∧q）的真值表完全相同，所以（p↔q）（p∧q）∨（p∧q）。
⑻p→（q∨r）（p∧q）→r
证明p→（q∨r）和（p∧q）→r的真值表如表所示。
（p∧q）→r
p→（q∨r）和（p∧q）→r的真值表完全相同，所以p→（q∨r）（p∧q）→r。
5.用等价演算证明习题4中的等价式。
⑴（p→q）
（p∨q）（条件等价式）
p∧q（德·
摩根律）
⑵q→p
q∨p（条件等价式）
q∨p（双重否定律）
p∨q（交换律）
p→q（条件等价式）
⑶（p↔q）
（（p→q）∧（q→p））（双条件等价式）
（（p∨q）∧（q∨p））（条件等价式）
（p∧q）∨（q∧p）（德·
（（p∧q）∨q）∧（（p∧q）∨p）（分配律）
（p∨q）∧（q∨p）（分配律）
（p∨q）∧（q∨p）（交换律）
（p→q）∧（q→p）（条件等价式）
p↔q（双条件等价式）
⑷p→（q→r）
p∨（q∨r）（条件等价式）
（p∨q）∨r（结合律）
（p∧q）∨r（德·
（p∧q）→r（条件等价式）
⑸p→（q→p）
p∨（q∨p）（条件等价式）
T
p∨（p∨q）（条件等价式）
所以p→（q→p）p→（p→q）
⑹（p↔q）
（（p∧q）∨（p∧q））（例
（p∨q）∧（p∨q）（德·
（p∨q）∧（p∧q）（德·
所以（p↔q）（p∨q）∧（p∧q）
⑺（p↔q）
（p∧q）∨（p∧q）（德·
⑻p→（q∨r）
p∨（q∨r）（条件等价式）
（p∨q）∨r（结合律）
（p∧q）∨r（德·
（p∧q）→r（条件等价式）
6.试用真值表证明下列命题定律。
⑴结合律：
（p∨q）∨rp∨（q∨r），（p∧q）∧rp∧（q∧r）
证明结合律的真值表如表和表所示。
（p∨q）∨r
p∨（q∨r）
（p∧q）∧r
q∧r
p∧（q∧r）
由真值表可知结合律成立。
⑵分配律：
p∧（q∨r）（p∧q）∨（p∧r），
p∨（q∧r）（p∨q）∧（p∨r）
证明合取对析取的分配律的真值表如表所示，析取对合取的的分配律的真值表如表所示。
p∧（q∨r）
p∧r
（p∧q）∨（p∧r）
p∨（q∧r）
p∨r
（p∨q）∧（p∨r）
由真值表可知分配律成立。
⑶假言易位式：
p→qq→p
证明假言易位式的真值表如表所示。
由真值表可知假言易位律成立。
⑷双条件否定等价式：
p↔qp↔q
证明双条件否定的真值表如表所示。
p↔q
由真值表可知双条件否定等价式成立。
习题
1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。
⑴（p∨q）→q
（p∨q）∨q（条件等价式）
（p∧q）∨q（德·
q（可满足式）（吸收律）
⑵（p→q）∧q
（p∨q）∧q（条件等价式）
（p∧q）∧q（德·
F（永假式）（结合律、矛盾律）
⑶（p→q）∧p→q
（p∨q）∧p→q（条件等价式）
（p∧p）∨（q∧p）→q（分配律）
（q∧p）→q（同一律、矛盾律）
（q∧p）∨q（条件等价式）
（q∨p）∨q（德·
T（永真式）（零律、排中律）
⑷（p→q）∧q
（p∨q）∧q（条件等价式）
q（可满足式）（吸收律）
⑸（p→q）→（q→p）
（p→q）→（p→q）（假言易位式）
T（永真式）
⑹（（p→q）∧（q→r））→（p→r）
（（p∨q）∧（q∨r））∨（p∨r）（条件等价式）
（p∧q）∨（q∧r）∨（p∨r）（德·
（p∧q）∨（（p∨q∨r）∧（p∨r∨r））（分配律）
（p∧q）∨（p∨q∨r）（同一律、排中律、零律）
（p∨q∨r∨p）∧（p∨q∨r∨q）（分配律）
⑺p→（p→q）
p∨（p∨q）（条件等价式）
⑻p→（p∨q∨r）
p∨（p∨q∨r）（条件等价式）
2.用真值表证明下列命题公式是重言式。
⑴（p∧（p→q））→q
（p∧（p→q））→q的真值表如表所示。
由表可以看出（p∧（p→q））→q是重言式。
p∧（p→q）
（p∧（p→q））→q
⑵（q∧（p→q））→p
（q∧（p→q））→p的真值表如表所示。
由表可以看出（q∧（p→q））→p是重言式。
q∧（p→q）
（q∧（p→q））→p
⑶（p∧（p∨q））→q
（p∧（p∨q））→q的真值表如表所示。
由表可以看出（p∧（p∨q））→q是重言式。
p
p∧（p∨q）
（p∧（p∨q））→q
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